求递推数列通项的特征根法,高考出题热点（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）专题求递推数列通项的特征根法一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例1已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，例2已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例3已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，例4已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，第二版学海导航专题辅导利用递推关系求数列通项1.形如型，用累加法.方法如下：由得：时，，，所以各式相加得时，，=.例1.已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得：=.2．已知前n项和求通项公式，用公式例2.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则3.形如型,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例3.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.3.转化法。通过对数列递推关系式的恰当恒等变形，如配方(适合题型:an+1=pan+q、an+1=pan+f(n))、因式分解、取对数、取倒数、平方等常用手段，将其转化为等比数列或等差数列。例4已知数列｛an｝满足a1=1，2an+1=an+6n+3。求an。解（配方法）设2[an+1+k（n+1）+b]=an+kn+b2an+1=an–kn-2k-bk=-6,b=9∴2[an+1–6(n+1）+9]=an-6n+9∴｛an-6n+9｝是以4为首相1/2为公比的等比数列∴an-6n+9=4∴an=4+6n-9例5.已知，求an解：对两边平方,得，且an0不妨设+q=2(+q)（配方法）q=1+1=2(+1),又,∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列，=，∴an=（）4．归纳法。先计算数列的前若干项，通过观察规律，猜想通项公式，进而用数学归纳法证之。例6对例5的数学归纳法求解：易求出a1=1，a2=，a3=，a4=，a5=，猜想：an=，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=结论成立；②假设当n=k时结论成立，即ak=，当n=k+1时，===，即n=k+1时结论成立。由①②知an=对所有的正整数都成立。∴an=（）三．已知三相以上的数列的递推公式求数列的通项公式，只能运用“观察，归纳，猜想，证明”的步骤和方法加以解决。例7．已知数列｛an｝满足a1=1，a2=6，an+2=an+1–an,求a2004解：a1=1，a2=6，a3=5，a4=-1，a5=-6，a6=-5，a7=1，a8=6，a9=5，a10=-1...猜想数列｛an｝是以6为周期的周期数列。事实上，an+2=an+1–an=an-an-1–an=-an-1∴an+3=-an∴an+6=-an+3=an。即｛an｝是以6为周期的周期数列。∴a2004=a6*334=a6=-5。专题二数列的通项递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决（即构造等差、等比的辅助数列），因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。常见的求法有：1、公式法：由等差，等比定义，写出通项公式（一般求，再用通项或变形公式）2、累加法：型；累乘法：型；迭代法3、待定系数法：型；型（为常数，且）特别提醒：一阶递推,我们通常将其化为{bn}的等比数列（常考查）4、不动点法：与的递推公式中，不含。5、特征根的方法：（其中p，q均为常数）。6、对数变换法：7、换元法：对含an与Sn的题，利用消去，转换为的推公式，再用前面的方法特别提醒：对含an与Sn的题，在求和的问题时，也可以用这样的方法消去，得到关于的递推公式，同样采用上述求通项地方法求出8、周期数列：9、数学归纳法：（以后学）说明：①仔细辨析递推关系式的