分离变量要彻底221300江苏省运河中学高中北校顾亚东（身份证号：320382197312118313）我们在解题时有时会用错误的解法得到正确的结果，以致无法检查出来，先看下面的例子：例1：已知偶函数在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是．有的同学给出如下解法：偶函数的对称轴是轴，由距离轴较距离轴远，所以原题等价于：对于恒成立．进而等价于：对任意，只须大于的最大值即可，于是，由绝对值定义得：或，在分离得：或对恒成立，得：．表面上看，这种解法无懈可击，答案也正确，其实这种解法大有问题，答案纯属巧合．x14大家都知道：对于函数，对任意恒成立，等价于在上的最大值．那么对于函数，对任意恒成立，是否等价于在上的最小值的最大值呢？不是的．来看例2：对于恒成立，则实数的取值范围是．分析：如果按上述解法就会得到的错误结果，如图：令，则并不一定需要在上的最大值，例如可以时，．由此不难发现例1的错误解法中：“对任意，大于的最大值”只是“对于恒成立”的充分条件，错误原因是用充分条件代替了充要条件．正确解法：题1等价于：对于恒成立．即，注意到，于是或；或，得：．又如：当积ab为定值时,和a+b有最小值；有的同学始终不理解为什么积ab要为定值，可看如下例题：例3：求的最小值．错解：“当且仅当时等号成立”于是的最小值为2．这是明显错误的．因为不等式的左右两边都是变量，的图像始终在的图像上方，且在时有切点，所以能保证不等式恒成立，但时不是最小值．通过上述三个例子，可以发现在解决含参数的问题时，若要将参数与变量分离，则变量一定要分离的彻底，否则容易出错．链接练习：1．(09)重庆不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为．解：变量已经分离彻底，只需即可，得：2．求的最小值解法一：求导；解法二：平方；．直接使用是错误的．3．（09常州调研）求证：对一切恒成立．解：令，本题无需分离参数，只需证明的最小值大于的最大值即可，由导数易得：，，由得证．