矩阵的概念和运算（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）7.2矩阵的概念和运算课题：矩阵的概念和运算目的要求：1．知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵。２．掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法及转置等概念。３．会利用矩阵表示线性方程组重点：矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法难点：矩阵乘法教学方法：讲练结合教学时数：4课时教学进程：一、矩阵的概念定义1由m×n个数排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵．其中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j称为aij的列指标．矩阵通常用A，B，C…大写字母表示，若需指明矩阵的行数和列数常写为或．例如：为一个2×3矩阵．在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩阵，下面分别给出他们的名称：元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作或0，如：，．当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）．只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵，分别称为行矩阵和列矩阵，如：，．若方阵的元素aij=0（i≠j），则称A为对角矩阵，aii（i=1,2,…,n）称为A的对角元，如为二阶对角矩阵．对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为In．形如、的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵．把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵．即矩阵的转置矩阵．一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵．定义2如果两个m行n列的矩阵，的对应元素分别相等，即那么就称这两个矩阵相等．例1已知，而且A=B，求a,b,c,d．解根据矩阵相等的定义，可得方程组解得a=5,b=2,c=2,d=-1，即当a=5,b=2,c=2,d=-1时A=B．应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对圆括号或中括号．二、矩阵的加法和减法定义两个m行n列的矩阵与相加（减），它们的和（差）为．显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个m行n列的矩阵．应注意，只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加减运算．容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律：（１）交换律：A+B=B+A；（２）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)．例2已知求A+AT和A-AT．解；．三、数与矩阵相乘定义一个数k与一个m行n列矩阵相乘，它们的乘积为，并且规定Ak=kA．例如，设，那么四矩阵与矩阵相乘设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算机，月产量（单位：台）为，如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元/台）为，则这两家公司的月利润（单位：万元）应为，可见，甲公司每月的利润为29．1万元，乙公司的利润为34．1万元．矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：定义设m×p矩阵，p×n矩阵，则由元素构成的m×n矩阵称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB．由定义可知：⑴A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；⑵乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数；⑶乘积C中第i行第j列元素Cij等于A的第i行元素与B的第j列元素对应乘积之和，即．例3设，，，求AB，AD．解；AD无意义．例4已知，求AI和IA．解由上例可知，单位矩阵I在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似．若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的．由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒．矩阵乘法满足如下运算规律：（１）结合律：(AB)C=A(BC)；（２）分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；（３）k(AB)=(kA)B=A(kB)，k为任意常数．例5设，验证A与B可交换．证；，因为AB=BA，所以A与B可交换．设A为n阶矩阵，则（k为正整数）称为矩阵A的k次幂．矩阵A的运算满足（k，l为正整数），由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说．例6已知，求A3．解五、利用矩阵表示线性方程组对于线性方程组设，根据矩阵乘法，它是一个m行一列的矩阵，根据矩阵相等的定义可得所以方程组可以用矩阵的乘法来表示．方程组中系数组成的矩阵A称为系数矩阵，方程组中系数与常数组成的矩阵称为增广矩阵，记为．例7利用矩阵表示线性方程组．解设因为，所以方程组可表示为．小结本讲内容：强调1．矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法。２．利用矩阵表示线性方程组。作业：Ｐ2211；2；3；4；5；6；7；8。§2矩阵的运算(读)教学目的通过教学，使学生基本掌握矩阵的运算：加法、数乘、乘法及其主要运算性质，理解矩阵转