矩阵论矩阵分解（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第四章矩阵分解把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的．因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据．本章将介绍几种常用的矩阵分解形式．§4．1矩阵的三角分解三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积．一、三角分解及其存在惟一性问题定义4.1设，如果存在下三角矩阵和上三角矩阵，使得A=LR则称A可以作三角分解．关于三角分解的存在性有如下一些结论．定理4.1设，则A可以作三角分解的充分必要条件是(k=1，2，…，n－1)，其中为A的k阶顺序主子式，而为A的k阶顺序主子阵。证必要性．已知A可以作三角分解，即A＝LR，其中L＝，．将A，L和R进行分块，得这里，和分别是A，L和R的k阶顺序主子阵，且和分别是上三角矩阵和下三角矩阵．由矩阵的分块乘法运算，得由于所以＝充分性．对阶数n用归纳法证明．当n=1时，，结论成立．设对n=k结论成立，即，其中和分别是上三角矩阵和下三角矩阵，且由知，与均可逆．则当n=k+1时，有其中，．故由归纳假设知A可以作三角分解．证毕这个定理说明，并不是每个可逆矩阵都可以作三角分解．如矩阵就不能作三解分解．定理4.2设，且A的前r个顺序主子式不为零，即(k=1，2，…，r)，见A可以作三角分解．证由定理4.1知，可以作三角分解，即，且和分别是可逆的上三角矩阵和下三角矩阵．将矩阵A分块为由于＝rankA=r，所以A的后n－r行可由前r行线性表示，即存在矩阵，使得，，从而即得到A的一种三角分解．证毕该定理的条件仅是充分的．如矩阵的秩为1，不满足定理的条件，但等，都是A的三角分解．需要指出的是，即使一个方阵的三角分解存在，它也不是惟一的．这是因为如果A=LR是A的一个三角分解，令D是对角元素都不为零的对角矩阵，则A＝(LD)，其中，也分别是下三角矩阵和上三角矩阵，即又得到了A的另一个三角分解．为讨论惟一性问题，需规范化三角分解．定义4.2设．如果A可分解成A＝LR，其中L是对角元素为1的下三角矩阵(称为单位下三角矩阵)，R是上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解；如果A可分解为A=LR，其中L是下三角矩阵，R是对角元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵)，则称之为A的Crout分解；如果A可分解为A=LDR，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，R是单位上三角矩阵，则称之为A的LDR分解．定理4.3设，则A有惟一LDR分解的充分必要条件是≠0(k=1，2，…，n－1)．此时对角矩阵D=diag(，，…，)的元素满足证由定理4.1，A可作三角分解A=LR的充分必要条件是≠0(k=1，2，…，n－1)．记，由L和R可逆知与也可逆，从而这是A的LDR分解．再证惟一性．设A有两个LDR分解于是上式左边是单位下三角矩阵，右边是上三角矩阵，所以都应该是单位矩阵，即有从而又由是单位上三角矩阵知，故故A的LDR分解是惟一的．将A，L，D，R进行分块，得其中，，，分别是A，L，D，R的k阶顺序主子阵．则有(k=1,2,…,n)根据得(k=2,3,…,n)证毕推论设．则A有惟一Doolittle分解或Crout分解的充分必要条件是≠0(k=1，2，…，n－1)．上述定理4.3的结论可以适当放宽，即当(不要求A可逆)时，A有惟一LDR分解的充分必要条件是≠0(k=1，2，…，n－1)．证明略去．二、三角分解的紧凑计算格式现在阐述直接计算三角分解的方法，以下总假设，且A可以作三角分解，即A的所有顺序主子式不为零．由A的Doolittle分解A=LR，得于是由上式可导出求A的Doolittle分解的紧凑计算格式为具体计算时，可按下图所示一框一框地逐步进行．对同一框中的元素，必须在计算之前先算出，其余元素的计算先后没有影响．由算法公式可知，在计算出或后，就不再使用了，因此算出的或就可以放在A的相应元素的位置上．图4.1与上面的推导类似，可以得到Crout分解的紧凑计算格式：例4.1求矩阵A＝的Doolittle分解和Crout分解．解由Doolittle分解的紧凑计算格式得，，，故A的Doolittle分解为而由Crout分解的紧凑计算格式得考虑Hermite正定矩阵的三角分解，有如下的结果．定理4.4设是Hermite正