矩阵的概念与运算（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第四章矩阵§1-3矩阵的概念与运算，矩阵乘积行列式知识结构与内容提要（一）矩阵的定义`1．数域上的个数按照一定的顺序排列的一个数表称为一个矩阵．记作：几种特殊矩阵：零矩阵O，行阵，列阵，负矩阵，方阵（单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）2．矩阵的相等，定义（二）矩阵的运算1．加法设，则矩阵称为矩阵与的和，记作．加法的性质1）交换律；2）结合律；3)；4)；利用加法可以定义矩阵的减法：．2．数量乘法（数乘）设矩阵称为与数的乘积．记作：．性质：①；②；③；④。3．乘法（1）设，则矩阵，其中，．称为与的积，记为．注意：①的列数＝的行数．②积中第行列的元素由的第行乘的第列相应元素相加得到．（2）．性质（结合律）2），3）（分配律）⑤⑥若为级方阵，．⑦⑧⑨4）5）矩阵的乘法不满足交换律，即一般地，；若，称与可交换．（此时为同级矩阵）6）矩阵的乘法一般不满足消去律，即一般的未必，或者未必或．（3）乘法的方幂设为级方阵．的次幂定义为：．即，．①②（但是一般地）③（4）方阵多项式如果矩阵为方阵，，则称为矩阵的多项式。显然矩阵的多项式可交换。4．转置设的转置矩阵是指矩阵：记作或．性质①；②；③；④；⑤若为方阵，．对称矩阵反对称矩阵设为级方阵，若满足1），则称为对称矩阵；2），则称为反对称矩阵．①对称矩阵的和、差仍是对称矩阵；反对称矩阵的和、差仍是对称矩阵。即，对称仍对称．反对称仍反对称．②对称，仍对称；反对称，反对称．③奇数级反对称矩阵的行列式等于零．(三)矩阵乘积的行列式与秩1．非退化矩阵：为数域上的n级矩阵，若，则称为非退化的；若，称为退化的．注：n级矩阵非退化；n级矩阵退化．矩阵乘积的行列式：设为数域上的级矩阵，则推广：为数域上的级方阵，则．推论：设为数域上的级矩阵，则非退化都非退化；退化或退化．3．矩阵乘积的秩：为矩阵，则．推广：若，则．解题方法与典型例题矩阵的乘法是本章的一个重点和难点。在做乘法问题时一定要注意乘法的三个要素：可乘条件，结果矩阵的行数与列数，结果矩阵中的元素。同时注意矩阵乘法运算与普通数的乘法运算算律差别较大。有关秩的讨论时矩阵运算中一类基本的但又有一定难度的问题，处理这类问题要注意与下列知识联系：初等变换，齐次线性方程组，极大无关组。利用矩阵乘积的行列式计算行列式。例1设，求.解：=若，求.解：.令，求.解：证明：由于主对角线上的元素是的第行元素的平方和，因此中的元素全为0.设是3级方阵，，如果把矩阵写成，其中表示矩阵的第个行向量，求解例5反对称，对称．证明：1）对称．2）对称；反对称．3）反对称．证：1）2）3）反对称反对称．例6为级实对称矩阵，且，证明：．证：设．例7设为矩阵，为矩阵，证明，则证明：由于，故的列向量是齐次线性方程组的解向量。如果，结论显然成立。否则由非领解，则基础解系含个解向量，从而的列向量组的秩不大于。故结论成立。例8证明证明：设的列向量分别是，不妨设它们的极大无关组分别是，则，于是。问题探究设，求出关于的表达式。对于下列矩阵，有意义时，的行列各是多少？有意义时，的行数与列数各是多少?(1);(2);(3);(4).3.若，讨论的关系。证明若是对角形（上、下三角形）矩阵，则也为对角形（上、下三角形）矩阵。若，则，进而讨论矩阵的二项式定理成立。令,称为矩阵的迹，记作。试讨论下列等式是否成立？（1）；（2）；（3）当时，证明：。当时上试是否成立？四、思考题与达标训练（一）、填空若矩阵能够相加，则的行数与列数.设，，当时，有意义；当时有意义.若矩阵满足，则.积矩阵是矩阵.设是两个矩阵，则的（）元是的元，也就是的元，它是的与的对应元素之和.6.积矩阵的第行等于，的第列等于.7.若，，则的（2，3）元素等于.8.设为级方阵，且秩，，下列断言成立.（A）只有零解；（B）有非零解；（C）不一定有解；（D）有解，但不一定有非零解.（二）、判断题1．两个矩阵既可相加，又可相乘，这两个矩阵一定是方阵.2．若级方阵，则.3．若，则，或.4．若，则.5．若为方阵，则.6．为方阵，为非零常数，则.7．为数量矩阵，为多项式，则为数量矩阵.三、解答题1.设，求.2.若，求.3.令，求.4.若是级实矩阵，试证.5.证明：若为可换方阵，则二项式定理成立.6．计算①；②7．求证：对于任何实数为列向量均有的充要条件是为反对称矩阵.8.证明§4-