矩阵的特征值与特征向量（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第五章矩阵的特征值与特征向量第一讲特征值与特征向量教学目的：通过本节的学习，使学生理解特征值与特征向量及相似矩阵基本概念，掌握特征值与特征向量的求解方法及其主要性质教学重点与难点：特征值与特征向量的求解教学计划时数：2课时教学过程：一、基本概念定义1设是阶方阵，若对于数，存在维非零向量，使得（1）成立，则称数为方阵的一个特征值，非零向量称为的属于特征值的一个特征向量.说明：（1）式可以等价地写成：，（2）而（2）式存在非零列向量的充分必要条件是，（3）即.定义2设是一个未知量，矩阵称为的特征矩阵，行列式称为矩阵的特征多项式，方程称为的特征方程，它的根称为的特征根，的特征根即为的特征值.说明：1、特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶方阵在复数范围内有个特征值.2、若是的属于特征值的特征向量，则的任何一个非零倍数也是的属于特征值的特征向量.且可以推广到有限个的情形().3、特征向量不是被特征值所唯一决定.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一个特征值.二、求解方法根据上述定义和讨论，即可得出阶方阵的特征值和特征向量的求法：1、计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，即的全部特征值；2、对每个求出的特征值，求齐次线性方程组的一组基础解系，则不全为是的属于特征值的全部特征向量.例1：求矩阵的特征值和特征向量.[解]特征多项式为：,所以的特征值为.当时，由,解得，求得基础解系为.所以是的属于特征值的一个特征向量，而是的属于特征值的全部特征向量.当时，由，解得，求得基础解系为.所以是的属于特征值的一个特征向量，而是的属于特征值的全部特征向量.例2：求矩阵的特征值与特征向量.[解]的特征多项式为,所以的特征值为.当时，解方程，由，求得基础解系为：.所以是的属于特征值的全部特征向量.当时，解方程，由，求得基础解系为:.所以是的属于特征值的全部特征向量.例3：求矩阵的特征值与特征向量.三、主要性质性质1阶矩阵与它的转置矩阵的特征值相同.[证明]因为,所以与的特征多项式相同，从而它们的特征值相同.性质2设阶矩阵的特征值为，则有(1)；(2).推论n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的任一特征值不为零.性质3设是阶矩阵A的特征值，则是的特征值；当A可逆时，是的特征值.推论1设是阶可逆矩阵A的特征值，则是的特征值.推论2设是A的特征值，则是的特征值；是的特征值，其中是的多项式，是矩阵A的多项式.例4：设3阶矩阵A的特征值为，求.定理1设是方阵的属于两个不同特征值的特征向量，则线性无关.定理2设是阶矩阵的属于互不相等的特征值的特征向量，则线性无关.说明：属于矩阵不同特征值的特征向量是线性无关的.另外，定理还可以进一步推广为:定理3设是阶矩阵的不同特征值，而是的属于特征值的线性无关的特征向量，则向量组也线性无关.例5：设是方阵的两个不同的特征值，是的分别属于的特征向量，证明不是的特征向量..四、相似矩阵定义3设都是阶矩阵，若存在一个阶可逆矩阵，使得：成立，则称与相似.对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.例如矩阵与矩阵相似，因为存在可逆矩阵，使得.说明：1、若与相似，则也与相似.所以我们常说相似，也就是指对中的任一个矩阵总可以找到可逆矩阵，通过相似变换化为另一个矩阵.2、相似矩阵具有以下基本性质：（1）相似矩阵的转置矩阵也相似；（2）相似矩阵的幂也相似；（3）相似矩阵的多项式也相似；（4）相似矩阵的秩相等；（5）相似矩阵的行列式相等；（6）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.（7）若阶矩阵相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值相同.（8）若阶矩阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值.3、若矩阵与对角矩阵相似，即有可逆矩阵，使，或，则，其中是的多项式.而对于对角矩阵，有，由此可方便地计算及的多项式.4、哈密尔顿－凯莱定理设是阶矩阵的特征多项式，若与对角矩阵相似，则.事实上，若与对角矩阵相似，即有可逆矩阵，使，其中为的特征值，有.由得.哈密尔顿－凯莱（Hamilton-Cayley）定理：设是阶矩阵，是的特征多项式，则.第二讲矩阵相似对角化的条件教学目的：通过本节的学习，使学生了解矩阵相似对角化的条件，并掌握矩阵对角化的过程.教学重点与难点：矩阵相似对角化的条件教学计划时数：2课时教学过程：由于相似的矩阵的特征值相同，且对角矩阵的特征值为其