方程与几何综合题选讲复习要点例题精析【例2】已知AB是半圆O的直径，AC切半圆于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE，垂足是E，BD=10，DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)，求AC的长.解：∵DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)且BE⊥DE，BD=10连接AD，∵AB是直径∴∠ADB=90°∵DE是⊙O的切线∴∠EDB=∠DAB∴Rt△BDE∽Rt△BAD∴∠ABC=∠DBE，∴∴AB=∵AC切⊙O于A∴∠CAB=90°∴Rt△CAB∽Rt△DEB∴∴AC=【例3】已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.解：(1)∵AB、AC是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根∴AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5∴AB2+AC2=BC2∴(AB+AC)2-2AB·AC=25即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25∴k2+3k-10=0∴k1=-5或k2=2当k=-5时，方程为x2+7x+12=0解得x1=-3，x2=-4(舍去)当k=2时，方程为x2-7x+12=0解得x1=3，x2=4∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.(2)若△ABC是等腰三角形，则有①AB=AC，②AB=BC，③AC=BC三种情况.∵Δ=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1＞0∴AB≠AC，故第一种情况不成立；当AB=BC，或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根即25-5(2k+3)+k2+3k+2=0k2-7k+12=0∴k1=3或k2=4当k=3时，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5∴等腰三角形的三边长分别是5、5、4，周长是14.当k=4时，x2-11x+30=0∴x1=5，x2=6∴等腰三角形的三边长分别是5、5、6，周长为16，故当k=3或k=4时，△ABC为等腰三角形，周长分别为14或16.【例4】已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根，求：(1)求k的值；(2)若c=10，且a＞b，求a、b的值.(2)又∵tanA+tanB=k∴tanA+∴(tanA)2-(tanA)+1=0∴12(tanA)2-25(tanA)+12=0∴tanA=3/4或tanA=4/3又∵a＞b∴tanA=a/b＞1∴tanA=4/3∴【例5】如图所示，锐角三角形ABC内接于⊙O，高AD、BE交于点H，过点A引圆的切线与直线BE交于点P，直线BE交⊙O于另一点F，AB12的长是关于x的方程x2-x+(sin2C-sinC+1)=0的一个实数根.(1)求∠C的度数与AB的长；(2)设BH=x，BP=y，①求y与x间的函数关系式；②当y=3时，试判断△ABC的形状，并说明理由.【分析】(1)利用根的判别式△≥0可迅速求得；解：(1)∵方程有实根∴Δ=(-1/2)2-4×1×1/4(sin2C-3sinC+1)≥0即-(sinC-)2≥0∴sinC=，∠C=60°由Δ=0知x1=x2，而x1+x2=2x1=1/2∴x1=1/4即AB12=14∴AB=3.(2)①∵AD⊥BC，BE⊥AC∴∠P+∠PAC=∠BAD+∠ABC=90°又∵PA切⊙O于A∴∠PAC=∠ABC∴∠P=∠ABH∴△PBA∽△ABH∴x即y=②当y=时，即在Rt△DAC中，∵∠C=60°∴∠DAC=30°在Rt△AHE中，设HE=m，则AH=2m，AE=m在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2∴=32∴m=-(舍)m=∴BE=HE+HB=∴sin∠BAE=∴∠BAE=60°∴∠BAE=∠C=60°∴△ABC为等边三角形.考题演练2.(2002年·北京东城区)在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a、b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.②当b、c中只有一个为腰时，不妨设b为腰，则有b=a=3∴而此时m=225有意义.∴周长=a+b+c=3+3+75=375.综上所述，周长为7或375.欢迎交流！