讲简单的三角(sānjiǎo)恒等变换第四单元(dānyuán)三角函数与平面向量能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式(gōngshì)、两角和与差的三角公式(gōngshì)进行简单的三角恒等变换.1.在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1，则△ABC是()2.化简：-=()3.化简：-cos2x+cos4x=.4.若A-B=,tanA-tanB=,则cosA·cosB=.5.化简：tanα+tanβ+tanα·tanβ·tan(α+β)=.三角变换的基本题型——化简、求值和证明(zhèngmíng)(1)化简.三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值.依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次.(2)求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.①给角求值的关键是正确(zhèngquè)地分析角（已知角与未知角）之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值.②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值.③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角.(3)证明(zhèngmíng).它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明(zhèngmíng).常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推.题型一恒等变换(biànhuàn)下的化简求值tan2θ=-=-，解得tanθ=-或tanθ=，因为2θ∈(,π),所以θ∈（，）,所以tanθ＞0，所以tanθ=.====题型二恒等变换(biànhuàn)下的拆角求值因为(yīnwèi)<α<π，0<β<π，所以0<α-<π，-<-β<.又因为(yīnwèi)cos(α-)=-<0,sin(-β)=>0,所以<α-<π，0<-β<，所以sin(α-)===.cos(-β)===,故cos=cos[(α-)-(-β)]=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)=(-)×+×=.根据已知角与目标角的联系，将题目中的“目标角整体”变成“已知角整体”之间的“和、差、倍、半、余、补、负”，应用已知条件，直接(zhíjiē)解决问题.常用“凑角”技巧：α＝(α-β)+β=(α+β)-β，2α+β=(α+β)+α，α=+，β=-，2α=(α-β)+(α+β)等.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α∈(0，),α+β∈(，π),求β的值.所以(suǒyǐ)cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.又α∈(0,)，α+β∈(，π），则β∈(0,π)，所以(suǒyǐ)β=.题型三恒等变换(biànhuàn)下的三角证明(1)4sin2β=1+2sinαcosα,所以4sin2β=1+sin2γ，所以1-sin2γ=2-4sin2β=2（1-2sin2β）,即cos2γ=2cos2β.(2)因为5sinα=3sin(α-2β),所以5sin［(α-β)+β］=3sin［(α-β)-β］所以5sin(α-β)·cosβ+5cos(α-β)·sinβ=3sin(α-β)·cosβ-3cos(α-β)·sinβ,所以2sin(α-β)·cosβ+8cos(α-β)·sinβ=0，依题意知,β≠kπ+,α-β≠kπ+,k∈Z.所以tan(α-β)+4tanβ=0.等比数列(děnɡbǐshùliè){an}中，a2=sinα+cosα，a3=1+sin2α，其中＜α＜π.求:(1)2sin2α-cos4α+是数列{an}的第几项?(2)若tan(π-α)=,求数列{an}的前n项和Sn.设数列(shùliè){an}的公比为q，则q====sinα+cosα,所以a1==1.所以an=(sinα+cosα)n-1(n∈N*).(1)2sin2α-cos4α+=×(4sin2α-cos4α+3)=［4sin2α-（1-2sin22α）+3］=(2sin22α+4sin2α+2)=(1+sin2α)2=(sinα+cosα)4=a5,所以2sin2α-cos4α+是数列(shùliè){an}中的第5项.(2)由tan(π-α)=，得tanα=-，又＜α＜π，所以(suǒyǐ)sinα=,cosα=-，所以(suǒyǐ)q=sinα+cosα=，所以(suǒyǐ)an=()n-1，故Sn==-×()n-1.三角恒等变形的实质是对