矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第一章误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。1．误差的基本概念和有效数字1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则称x-a为近似值a的绝对误差，简称x-a为误差．当x≠0时，x称为a的相对误差．在实际运算中，精确值x往往是未知的，所x-a以常把a作为a的相对误差．2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数ea，使得x-a≤eaeaa称ea为a的绝对误差界，或简称为误差界．称是a的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好．3）．有效数字设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成a=±10k⨯0.a1a2an它可以是有限或无限小数的形式，其中ai(i=1,2,)是0,1,,9中的一个数字，a1≠0,k为整数．如果x-a≤1⨯10k-n2则称a为x的具有n位有效数字的近似值．如果a有n位有效数字，则a的相对误差界满足：4）．函数计算的误差估计如果y=f(x1,x2,,xn)为n元函数，自变量x1,x2,,xn的近似值分别为a1,a2,,an，则x-a1≤⨯101-n。a2a1⎛∂ff(x1,x2,,xn)-f(a1,a2,,an)≈∑k=1⎝∂xkn⎫⎪⎪(xk-ak)⎭a∂f⎫∂其中⎛⎪=f(a1,a2,,an)，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有⎪⎝∂xk⎭a∂xk⎛∂ff(x1,x2,,xn)-f(a1,a2,,an)≤ea≈∑k=1⎝∂xkn⎫⎪⎪eak⎭a如果令n=2，设x1,x2的近似值分别为a1,a2，其误差界为x1-a1≤ea和x2-a2≤ea2，1取y=f(x1,x2)为x1,x2之间的四则运算，则它们的误差估计为，ea1±a2≈ea1+ea1；ea1⋅a2≈a1ea1+a2ea1；ea1≈a2a1ea1+a2ea1a2，a2≠0。数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高．对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：ea1±a2a1-a2≈ea1+ea2a1-a2。如果x1和x2是两个十分接近的数，即a1和a2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值a1-a2的有效数字的位数将会很少。对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：ea1≈a2a1ea1+a2ea1a2。从关系式中可以看出，如果x2很小，即a2很小，计算值5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则a1的误差可能很大。a2⑴算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。⑵在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。⑶在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。⑷注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。⑸多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。2．向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1）向量范数定义存在R（n维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为f(x)=x，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x和y以及任意常数α∈R（实数域）（1）非负性x≥0，并且x=0的充分必要条件为x=0;（2）齐次性nx=αx；（3）三角不等式x+y≤x+y．则称函数为R上的一个向量范数．n常用三种的向量范数设任意ｎ维向量x=(x1,x2,,xn)T，（x为向量x的转置），Tx1=∑xi，向量的1-范数i=1n⎛n2⎫x2=∑xi⎪⎝i=1⎭x∞1≤i≤n=xT⋅x=(x,x，向量的2-范数1=maxxi，向量的∞-范数一般情况下，对给定的任意一种向量范数，其加权的范数可以表为xW=x，其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理R上的任何向量范数x均为x的连续函数。向量范数的等价性定理设⋅α和⋅为R上的任意两种向量范数，则存在两个与向量βnnx无关的正常数c1和c2，使得