矩阵对角化学习指导（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）41线性代数辅导矩阵的特征值与矩阵的对角化【基本要求】1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，并掌握其求法；2.理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充要条件；3.理解实对称矩阵的定义及有关特征值、特征向量的性质，会用正交变换化实对称矩阵为相似对角形矩阵。【主要内容】<1>重要公式：1、A=∏ni=1nλi（λ1,λ2,,λn是n阶方阵A的特征值）=∑λi（tr(A)表示A的迹）i=1n2、trA=∑ai=1ii3、λi≠0(i=1,2,,n)⇔A≠0⇔A可逆-1-14、若可逆阵A的每行之和为a≠0，则a为矩阵A的一个特征值，a为A的一⎛1⎫⎪X=个特征值，且对应的特征向量为⎪1⎪⎝⎭5、设λi为A的特征值，则k≠λik=λi⇒kI-A≠0⇒kI-A可逆⇒kI-A=0⇒kI-A不可逆-1-16、A可逆且有n个线性无关的特征向量⇒A,A+A有相同的n个线性无关的特征向量。7、A~B⇒r(A)=r(B);tr(A)=tr(B)8、设λ是阶方阵A特征值，是A对应于λ的特征向量，则有如下表42第五章特征值与特征向量<2>可对角化的判断方法：1.A有n个线性无关的特征向量；2.若A为实对称矩阵，则A一定可以对角化；3.若A有n个互不相同的特征值，则A一定可以对角化；4.设λ1,λ2,λs是A的所有不同的特征值，且其相应的重数为k1,k2,ks，若R(λiI-A)=n-ki，i=1,2,,s，则A一定可以对角化<4>A、B有相同的特征值⇒R(A)=R(B)【典型例题】⎛-1-22⎫⎪10⎪的特征值与特征向量.例1求A=0001⎪⎝⎭λ+1解：特征方程为|λE－A|=2-20=(λ+1)(λ－1)2=0，∴A的全部特λ-00λ-10征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。⎧2x2-2x3=0⎪把λ1=-1代入方程组(λiI-A)X=θ,得齐次线性方程组：⎨-2x2=0，⎪-2x=03⎩它的一个基础解系ξ1(100)，T∴A对应于特征值λ1=-1的全部特征向量为kξ1,k是非零常数.同理可得A对应于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为k1(101)+k2(-110)(k1,k2不全为零)..TT43线性代数辅导⎛204⎫⎪－1例2已知A=060⎪，求一正交矩阵P，使PAP成为对角阵.402⎪⎝⎭2解特征方程为|λE－A|=(λ－6)(λ+2),∴A的全部特征值为λ1=λ2=6,λ3=-2,当λ=6时，解方程组⎨⎧4x1-4x3=0得-4x+4x=013⎩A对应于λ=6的两个线性无关的特征向量为η1=(111)T,η2=(-12-1)T，⎛1⎫⎛-1⎫1⎪1⎪它们显然正交,所以只要对它们进行单位化，可得：ξ1=2⎪。1⎪，ξ2=6⎪⎪⎝-1⎭1⎝⎭⎧-4x1-4x3=0⎛1⎫⎛1⎫⎪1⎪⎪-8x2=0得η3=0⎪，单位化后，ξ3=当λ=－2时，解方程组⎨0⎪，2⎪-1⎪⎪-4x-4x=013⎝⎭⎝-1⎭⎩令P=(ξ1ξ2⎛ξ3)=⎝131313-126-11⎫⎪2⎪⎛6⎫⎪⎪0⎪，则P-1AP=6⎪。2⎪⎪⎝⎭1⎪-⎪2⎭2例3设n阶矩阵A满足A=A,证明(1)A的特征值只能是1或0；(2)A+I可逆。证:(1)设λ为A的任一特征值，x为对应于λ的特征向量，则Ax=λx，所以A2x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ2x。2又A2x=Ax=λx,∴λx=λx,即(λ-λ)x=θ,2但x≠θ,所以λ(λ-1)=0,即λ=0或λ=1.(2)因-1不是A的特征值，故0≠-I-A=(-1)nI+A,即I+A≠0，I+A可逆。例4假设λ为n阶矩阵A的一个特征值，证明：（1）若A可逆，则λ≠0，的特征值(2)若A可逆，则特征值证:(1)由条件知有非零向量ξ满足Aξ=λξ，两端左乘以A，得ξ=λ(Aξ)，由于ξ为非零向量，故λ≠0，于是有A-1ξ=1－1－11λ为Ak-1|A|λ为A的伴随矩阵A的特征值。（3）λ是A的*kλξ，据特征值的定义，数1为矩λ44第五章特征值与特征向量阵A－1的特征值。|A|111ξ,A*，故（1）中的结论可写为A*ξ=ξ，即A*ξ=λ|A||A|λ(2)由于A-1=故数|A|*λ为A的特征值。（3）由题设条件，有非零向量ξ满足：Aξ=λξ,A2ξ=A(Aξ)=A(λξ)=λ(Aξ)=λ(λξ)=λ2ξ,,Akξ=λkξ，由定义，λ是A的特征值kk例5设A为n阶矩阵,试证齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是A有零特征根。证:⇒：因AX=0有非零解，故|A|=0。因|0E-A|=|-A|=