主要内容二次型的概念及其矩阵表示（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第六章二次型主要内容：①二次型的概念及其矩阵表示②用配方法化二次型为标准型③用合同变换法化二次型为标准型④用正交变换化二次型为标准型⑤二次型及矩阵的正定性第一次课：主要介绍二次型的概念及其矩阵表示，用配方法化二次型为标准型。§6.1二次型及其标准型二次型及其标准型定义:+()的元二次齐次多项式叫做的二次型,简称元二次型。其中称为乘积项的系数，当（）的全部系数均为实数时，称之为实二次型。当（6.1.1）的系数允许有复数时，称之为复次型（本课程只讨论实二次型）。若记，且（）＝（）重点：②④⑤难点：④⑤若记，则（）式可记为（6.1.4）（）和（6.1.4）式称为二次型的矩阵表示。在的规定下，显然为实对称阵，且与二次型时一一对应的。因此，实对称阵又称为二次型（6.1.2）的矩阵，的秩叫做二次型的秩。例：二次型的矩阵，二次型的标准型最简单的二次型是只含平方项的，形如（）的二次型。其中是实常数。这种形式的二次型称为标准形式的二次型。对一般的二次型（），通常采用如下形式（称为变量代换或线性替换）。注：二次型矩阵为对称阵，（）代入（）式后，将其化为关于新变量的标准形式的二次型：。系数矩阵是适当选取的满秩矩阵，即是可逆阵。定义二次型（6.1.2）经满秩线性变换（6.1.6）化成形如（6.1.5）的标准形式，称为二次型用满秩线性变换化标准形。所得到的标准形（6.1.5）叫做二次型（6.1.2）的标准形。用矩阵语言：记，线性变换是可逆阵则。记，当为对角阵时，由此可见，化一般元二次型成标准形等同于对二次型矩阵寻找一个阶满秩矩阵，使成对角阵。定义设，若存在阶可逆阵使成立，则称矩阵合同于，或简称与合同。由定义，二次型矩阵与其标准形矩阵是合同的，矩阵合同有如下性质：（1）反射性。与合同（2）对称性。与合同，则与合同（3）传递性。与合同，与C合同,则A与C合同（4）若是实对称阵，且A合同于B，则B也是实对称阵（5）合同阵的秩相等（但逆不成立）。注：1。P必须可逆，这样才能保证变换可逆，即，变换前后二次型性质不变。2。由，P可逆故，因为对角阵。故是中主对角线元素不为零的个数，因而有结论:二次型的秩等于标准形中系数不为零的完全平方项的项数，等于标准形矩阵主对角线元素不为零的个数。§6.2满秩线性变换化标准形、惯性定理定理任何元二次性都可以经过满秩线性变换化成标准形，化二次型为标准型的两个常用方法：配方法、矩阵合同变换法。配方法化标准形基本思想：第一步：把给定的二次型经适当的配完全平方，把（）配成若干个线性式子的平方之代数和的形式，设二次型已配方成：第二步：作线性变换即得标准型：。例1、用满秩线形变换化二次型为标准形。解：令则标准形为注：用数学归纳法可证用配方法化二次型为标准形所作得线性变换是非退化的。注：关键是确保所得线性变换是满秩的。上述线性变换反解可为即是满秩石。例2、用满秩线形变换化二次型为标准形。解：令有例1、例2中都含有某变元的平方项，可按该变元配方，若原二次型中不含任何变元的平方项，或配到某一处，只含交叉项，不含平方项。比如，这时可先做变换将原二次型化为以为变元的二次型，这样就含有变元的平方项了，再进行配方。例3、用满秩线形变换化二次型为标准形。解：令即原二次型变为配方得令则标准型为上面变换反解得即而且例、若给定二次型如果简单地令即变换不是满秩的，应把原二次型平方计算出来，再用配方法。作业：练习6－11（1）（3）、2（1）练习6－21思考题：练习6－13、4矩阵合同变换法化标准型配方法对二次型进行配方，化为标准型。当然，由于二次型与其矩阵的一一对应可寻求可逆阵，使。由于任一可逆阵均可分解成一系列初等阵之积，设。则。且有。其中表示对作一次与相应的列初等变换，再作一次同样的初等行变换。得到与合同的矩阵，此时称对作了一次合同变换，然后对用作第二次合同变换得到。注：用配方法化二次型为标准型的时候，所求线性变换应