线性映射(线性变换)的矩阵表示（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）§3线性映射(线性变换)的矩阵表示教学目的通过2学时的讲授，使学生基本掌握有限推向量空间线性映射的矩阵表示定理及矩阵相似的基本概念．教学内容有限维向量空间的线性映射，可以通过基下的矩阵来刻画，这就是这一节要学习的矩阵表示．3.1矩阵表示定理设V和W都是数域F上的有限维向量空间，dimV=n，dimW=m，σ∈Hom(V，W)．由命题知道，σ完全被它在V的一个基上的作用所决定．因此在V中取一个基；同时，在W中取一个基，则由线性表示为．(1)将此写成矩阵形式，并令σ()=()，则得，(2)其中矩阵A=，叫做线性映射σ在V的基{}和W的基{i}下的矩阵．在V、W中分别取定一个基{}、{i}以后，对于V到W的每一个线性映射σ，有唯一确定的m×n矩阵A与它对应．因此，这个对应给出了Hom(V，W)到的一个映射．设∈Hom(V，W)，则()=B是在基{}和基{i}下的矩阵．若B=A，则，．由命题，有=．这表明是单射．任给C∈，W中以C的第j列作为在基{i}下的坐标的向量记作，．由命题7.1.2，存在V到W的一个线性映射，使得()=，．从而()=()=()C．于是，C是在基{}和基{i}下的矩阵．因此()=C．这表明是满射．故是Hom(V,W)到的一个双射．进一步，我们来证明定理设V和W都是数域F上有限维向量空间,其中dimV=n,dimW=m．在V中取一个基，在W中取一个基．则V到W的每一个线性映射与它在基{}和基{i}下的矩阵的对应是向量空间Hom(V，W)到的同构映射，记作Hom(V，W)．证前面已证是到Hom(V，W)到的双射．现在来证明保持加法与纯量乘法运算．任取,∈Hom(V，W)，设()=A,()=B，即，，则这表明+在基{}和基{i}下的矩阵是A＋B．因此(+)=A＋B=()+()．类似可证，其中k∈F．因此，是Hom(V，W)到的同构映射．再注意到定理，则有推论设dimV=n，dimW=m，则Hom(V，W)是有限维的，并且dimHom(V，W)=dimV·dimW．(4)当知道V到W的线性映射在基{}和基{i}下的矩阵A之后，V中任一向量α在下的象很容易求出，即有命题设是V的一个基，是W的一个基，∈Hom(V，W)，且在基{}和基{i}下的矩阵为A．又α∈V，设α在基{}下的坐标为，则在基{bi}下的坐标为A．证我们有．因此，A是在基下的坐标．推论设V到W的线性映射在基{}和基{bi}下的矩阵为A，V中任一向量α在基{}下的坐标为X=，W中向量在基{bi}下的坐标为Y=，则．现在我们来讨论n维向量空间V上的线性变换与矩阵的关系．设∈EndV，我们把上面关于线性映射与矩阵的关系运用到V上的线性变换中．这时，只需在V中取定一个基，把基向量在下的象()仍然用这个基线性表出，即，(5)右端的n阶矩阵A=叫做线性变换在基下的矩阵．定理设V是数域F上n维向量空间，在V中取定一个基，则V上的每一个线性变换与它在基下的矩阵的对应是向量空间EndV到Mn(F)的同构映射，也是环EndV到Mn(F)的同构映射．证结论的前半部分已在定理中证明．后半部分中是双射，保持加法也已证明，剩下只要证保持乘法．设线性变换，在基下的矩阵分别是A，B，则，．因为所以在基下的矩阵是AB．于是．从而也是环EndV到Mn(F)的同构映射．由此进一步得到推论设数域F上n维向量空间V的一个线性变换在V的一个取定的基下的矩阵是A．则可逆的充分且必要条件是A可逆，并且其逆变换在这个基下的矩阵就是．证设可逆．令关于所取定的基的矩阵是B，则．同理BA=In．所以B=A－1．反过来，设，而A可逆，则有EndV使．于是，从而易见．同理可证．所以可逆，且．命题7.3.2设V是数域F上n维向量空间，∈EndV．若在V的基下的矩阵为A，α∈V在基下的坐标为X，则在基下的坐标为AX．证从命题立即得到．3.2矩阵相似的概念一个线性变换在取定基下的矩阵依赖于这个基的选择．同一个线性变换在不同的基下的矩阵自然不一定相同．我们来考察一个线性变换在两个基下的矩阵有什么关系．设V是数域F上的一个n维向量空间，∈EndV．假设在V的两个基{}与{}下的矩阵分别是A与B，即,.令T是由基{}到基{}的过渡矩阵，即()=()T．则()B=()=(()T)=()T=()AT=()T－1AT．因此．(6)等式(6)说明一个线性变换