线性变换的矩阵表示（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第五节线性变换的矩阵表示内容分布图示★线性变换的矩阵表示式★线性变换在给定基下的矩阵★线性变换与其矩阵的关系★例1★例2★例3★线性变换在不同基下的矩阵★例4★内容小结★课堂练习习题6-5★返回内容要点：一、线性变换在给定基下的矩阵定义1设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基如果这个基在变换下的象为记则上式可表示为，其中=,那末，则称为线性变换在基下的矩阵.显然，矩阵由基的象唯一确定.二、线性变换与其矩阵的关系设是线性变换在基下的矩阵，即基在变换下的象为=,结论在中取定一个基后，由线性变换可唯一地确定一个矩阵，由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换.故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.三、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？定理1设线性空间中取定两个基；，由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，则.定理表明：与相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵.定义2线性变换的象空间的维数，称为线性变换的秩.结论(ⅰ)若是的矩阵，则的秩就是.(ⅱ)若的秩为，则的核的维数为.例题选讲：线性变换与其矩阵的关系例1(讲义例1)在中,取基=,=,=,=1,求微分运算的矩阵.例2(讲义例2)实数域上所有一元多项式的集合，记作,中次数小于的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作,它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成上的一个线性空间。在线性空间中，定义变换,则由导数性质可以证明：是上的一个线性变换,这个变换也称为微分变换.现取的基为，则有，，，…，,因此，在基下的矩阵为=例3(讲义例3)在中，表示将向量投影到平面的线性变换，即,(1)取基为，求的矩阵；(2)取基为,,,求的矩阵.线性变换在不同基下的矩阵例4(讲义例4)设中的线性变换，在基，下的矩阵为，求在基,下的矩阵.课堂练习1.已知的两个线性变换=，=，其中=，=,试求在基,,,下的矩阵.7．3线性变换和矩阵教学目的：熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A，以及n阶矩阵A和基，求出关于这个基的矩阵为A的线性变换。由向量关于给定基的坐标，求出关于这个基的坐标。已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵。教学内容：线性变换的矩阵现在设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个基,,,.考虑V中任意一个向量仍是V的一个向量.设自然要问,如何计算的坐标.令(2)……………………………………………这里,i,j=1,…,n,就是关于基的坐标.令……A=………………………n阶矩阵A叫做线性变换关于基的矩阵.矩阵A的第j列元素就是这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应.为了计算关于基的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式(3)=.设=因为是线性变换,所以(4)=将(3)代入(4)得A最后等式表明,关于的坐标所组成的列是A比较等式(1),我们得到定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间,是V的一个线性变换,而关于V的一个基的矩阵是.如果V中向量关于这个基的坐标是,而的坐标是,那么(5)在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令是将的每一向量旋转角的一个旋转.是的一个线性变换.我们有所以关于基的矩阵是设,它关于基的坐标是,而的坐标是.那么令V是数域F上一个n维向量空间。是V的一个位似。那么关于V的任意基的矩阵是2、线性变换的性质：引理7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基。那么对于V中任意n个向量，恰有V的一个线性变换，使得证设是V中任意向量。我们如下地定义V到自身的一个映射：我们证明，是V的一个线性变换。设那么于是设，那么这就证明了是V的一个线性变换。线性变换显然满足定理所要求的条件：如果是V的一个线性变换，且那么对于任意，从而定理7.3.3设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基。对于V的每一线性变换，令关于基的矩阵A与它对应。这样就得到V的全体线性变换所成的集合到F上全体n阶矩阵所成的集合的一个双射。并且如果，而那么（6）（7）证设线性变换关于基的矩阵是A。那么是到的一个映射。反过来，设是F上任意一个n阶矩阵。令由引理7.3