第14讲三角形及其性质一、选择题1．(2016·长沙)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是(A)A．6B．3C．2D．112．(2016·南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(C)A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，73．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＋∠B＝(D)A．45°B．60°C．75°D．90°4．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为(A)A．13B．14C．15D．16第4题图第5题图5．(2016·达州)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为(B)A．2B．3C．4D．56．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为(C)A．5B．6C．7D．8第6题图第7题图7．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(B)A．7B．8C．9D．108．(2016·内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(B)A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2)D．不能确定二、填空题9．(2016·哈尔滨)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为eq\r(13)或eq\r(10)．10．(2016·遵义)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝35度．第10题图第11题图11．(2016·龙岩)如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝2．12．(2016·随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝eq\f(1,3)BD，连接DM、DN、MN.若AB＝6，则DN＝3．第12题图第13题图13．(2016·湖州改编)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是4．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若EF＝8，则CD的长为8．三、解答题15．(2016·宁夏)在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∠EDF＝60°，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝eq\r(DF2－DE2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).16．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，AE、AF相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°－90°－∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°，∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝30°－25°＝5°，∠AFB＝∠C＋∠CBF＝60°＋35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF＋∠AFB＝25°＋95°＝120°，∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°.17．(2016·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．(1)证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN＝eq\f(1,2)AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝eq\f(1,2)AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM；(2)解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠