《高等数学》（Ⅱ）上习题册第二版（修定版）教师用书省级精品课程《高等数学》课题组编第一章补充习题一、填空题若在处连续，在处不连续，则在处连续。解：不一定，举例①，在处连续②，在处不连续。二、选择题（2004数学三、四）函数在下列哪个区间内有界？（A）(－1,0).（B）(0,1).（C）(1,2).（D）(2,3).解：当x≠0,1,2时，f(x)连续，而，，所以，函数f(x)在(－1,0)内有界，故选（A）三．已知，求常数a，b。解：原式=∴四、求解：①当时∴②当时∴③当时∴综上得原式=五、求的连续区间、间断点并判别其类型。解：∵和时无定义∴和是间断点又∵∴点无穷间断点（第二类）而∴是跳跃间断点六、设在上连续，，试证明：对任意的正数p和q，至少存在一点，使.证：∵在连续，∴在也连续由最值定理：且∴且∴由介值定理得存在一个，使得故成立。第二章补充习题一、填空题1．设方程确定函数为，则。解：2．设函数二阶可导，且，则。解：二、若可导，求解：原式=三、设，且，求证证：∵∴而∴又∵∴∴∴得证四、试从导出证：五、设满足，求。解：∵（1）∴（2）（2）×2－①得∴∴六、求由参数方程以确定的函数的三阶导数解：第三章补充习题一、填空题1．曲线的渐近线为。解：间断点为∵∴渐近线为2．设与可求任意阶导数，且，，。则。解：由得，再求导有，由洛必塔法则得二、设，，。并设求。解：。注意：对于不能使用洛必达法则，这是因为仅设处存在，而未设在处连续。上面*的第1式是按定义求得的，第2式用洛必达法则或等价无穷小代换均可。三、（2000数学二）求函数在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3).[解1]设，.根据莱布尼兹公式，有[注意：.]，故.[解2]由麦克劳林公式以及，比较的系数得，故四、（1995数学二）设在区间内二阶可导，且，。试证明，且仅在时等号成立。解：由二阶可导，所以在连续。又由，有，。由泰勒公式有，且仅在成立等号五、设在区间[0，1]上二阶可导，，设。证明在（0，1）内至少存在一点，使。解：，。由罗尔定理知，至少存在一点使。但，对在区间上用罗尔定理，至少存在一点使。六、设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，，而，试问是否为极值点？为什么？又是否为拐点？为什么？解：∵不仿设，而在的邻域D内连续，∴存在邻域使得在有由泰勒公式：均有（在x与x0之间）i）当，，当，，∴非极值。ii）∵在连续可导，对于且应用拉格朗日中值定理得，在与x之间，即，而∴为拐点对于可仿二证明。七、1.（2004数学三、四）求.解：原式.2.求.解:.3.（1991数学三）求，其中n是给定的自然数.解：原式4.（1991数学四）求极限.解：原式5.求解：原式6.（1993数学一、二）求解：设，原式=第四章补充习题一、填空题1．积分。解：原式==2．设，则。解：令，则两边在[0，1]积分得∴3．设是连续函数，则。解：令，。二、求极限解：，再用洛必塔法则原式=三、已知是的一个原函数，求。解：。四、设在[0，1]上可微，具有试证：在（0，1）内至少存在一点，使得证：令，则又在连续，在可导，且由罗尔定理，存在，使得，即五、计算下列各题（1）（1994数学一、二）求.解：原式（2）（1998数学二）.解：当，时，.当时，.当时，.第五章补充习题一、填空题1．曲线点从到的一段弧的长度为。解：曲线化为，弧长元素