第八章圆锥曲线方程题型3椭圆背景下的求值问题解：由条件知a=2，b=1，所以c=.所以F1(-，0)，F2(，0).设P(x，y)(x＞0，y＞0).则又联立解得又x＞0，y＞0，所以故P(1，).点评：椭圆的性质是解决求值问题的关键.求值一般先转化为求参数，而求参数问题，主要根据条件得出关于参数的方程(组)，再解得方程(组)即可.5www.3edu.net782.设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，点P到椭圆右准线的距离为d.若m|PF1|，|PF2|，d成等比数列，求m的取值范围.解法1：由已知得|PF2|2=m|PF1|·d.又所以|PF2|=2m|PF1|.据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=4.所以(2m+1)|PF1|=4，所以设点P(x0，y0)，则|PF1|=a+ex0=2+.所以解得因为|x0|≤２，所以所以|2-4m|≤|2m+1|，即(2-4m)2≤(2m+1)2，得(6m-1)(2m-3)≤0，所以m∈［］.解法2：由已知可得|PF2|=2m|PF1|.设点P(x0，y0)，则：因为-2≤x0≤2,函数在[-2,2]上是减函数,且当x0=2时,m=,当x0=-2时,m=.所以m∈［，］.解法3：由已知可得|PF2|=2m|PF1|，所以由椭圆的几何性质知，a-c≤|PF1|≤a+c，即1≤|PF1|≤3，所以所以m∈［，］.点评：求椭圆中的参数的取值范围问题，一般是根据条件得到参数的不等式(组).注意一些隐含条件的转化，如椭圆上的点的坐标范围，离心率的范围等.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时，求直线l的斜率k的取值范围.解：(1)依题意，设椭圆C的方程为(a>b>0),焦距为2c，由题设条件知，2bc=8,b=c,所以b2=4.故椭圆C的方程为(2)由(1)知，椭圆C的左准线方程为x=-4,所以点P的坐标为(-4,0)，显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y=k(x+4).如图，设点M，N的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为G(x0,y0)，由得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0.①由Δ=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0，解得②因为x1,x2是方程①的两根,所以于是因为所以点G不可能在y轴的右边，又直线F1B2,F1B1的方程分别为y=x+2,y=-x-2,所以点G在正方形Q内(包括边界)的充要条件为.即亦即解得此时②也成立.故直线l的斜率k的取值范围是［］.1.设椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上的一点,AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为试推断ab是否为定值，并说明理由.解法1：由题设AF2⊥F1F2及F1(-c，0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中y>0.由于点A在椭圆上，故有www.aaaxk.com即解得从而得到直线AF1的方程为整理得b2x-2acy+b2c=0.由题设，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，即将c2=a2-b2代入上式,并化简得a2=2b2,即a=b.故为定值.解法2：过点O作OB⊥AF1，垂足为B.易知△F1BO∽△F1F2A，故由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a.又所以由此解得|F2A|=.由已知可得点A的坐标为所以即故为定值.2.如图，已知椭圆中心在原点，焦点F1、F2在x轴上,长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，且(1)求椭圆的方程；(2)若点P在直线l上运动，求当∠F1PF2最大时点P的坐标.解：(1)据题意可设椭圆的方程为则|MA1|=-2，|A1F1|=2-c，其中c=.由已知-2=2(2-c)，可得c2-3c+2=0.因为0<c<2，所以c=1，从而b2=4-c2=3.故椭圆的方程为(2)设点P(-4，t)，则所以当且仅当|t|=时取等号.所以当∠F1PF2最大时,点P的坐标为(-4,±).1.椭圆给出了两种定义，解题时要充分利用这两种定义，尤其是椭圆的第二定义，如果运用恰当，可收到事半功倍之效.一般地，与椭圆焦半径、焦点弦有关的问题的处理，可考虑从椭圆的定义入手.2.求有关量的值一般用公式法或方程法求解；求变量的取值范围可利用不等式法、函数法、几何求法解.同时要注意利用设而不求、点差法等技巧简化运算过程.www.3edu