矩阵论的应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）广义逆在多元分析中的应用刘雯雯信通院学号：B098035摘要：多元分析的一个重要内容就是研究随机向量之间的关系，在一元统计中，用相关系数来描述随机变量之间的关系，Hotelling[1]和张尧庭教授[2]先后定义了度量两个随机向量相关程度的数量指标，并称之为广义相关系数。这一章主要利用Moore-Penrose广义逆矩阵来引人了随机向量之间的相关系数—广义相关系数，并探讨了随机向量的典型相关系数和广义相关系数之间的关系。关键词：特征值广义相关系数典型相关系数正交阵可逆矩阵1.引言方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵.后来物理学家.迪拉克引进了术语"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20世纪引进的.矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。随着科技日新月异地进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生产实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要[1]。矩阵理论在现代统计学的许多分支有着广泛的应用，成为统计学中不可缺少的工具，而且，随着研究的深入和应用的发展，矩阵与统计学之间的关系会越来越深刻。一方面，统计学对矩阵研究提出了许多新的研究课题，刺激了有关矩阵理论研究的发展;另一方面，矩阵理论中的结果被越来越多地应用于统计学的理论研究及其应用中。近三十年，许多统计学家致力于这方面的研究，并撰写了很多这方面的论文和著作，其中很多结论在统计学的研究中发挥着很大的作用。近三十年矩阵研究中一些与统计学有密切关系的新发展，包括它们在统计中的应用，这些研究结果一开始就渊源于统计问题。本文皆在向读者介绍矩阵论中并与统计学密切有关的如下几个方面：矩阵偏序、矩阵不等式、广义逆矩阵等，这些方面与统计学息息相关，特别是在多元分析和线性模型参数估计中都有着重要的应用。广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。广义逆矩阵是上世纪矩阵理论的一项极为重要的新发展[7]，广义逆的概念最早由Redholm于1908年提出的，他给出TFredholm积分算子的广义逆，Hurwitz于1912年利用有限维Fredholm积分算子的零空间给出了此类广义逆的一个简单的代数表征，Hilbert于1904年讨论广义Green函数时曾提出了微分算子的广义逆，之后许多学者研究了微分算子的广义逆，特别是Myller、westfall、Reid等。1920年，Moore首次提出了矩阵的广义逆，他利用投影矩阵定义了唯一的广义逆。Bjerhammer在不知道Moore结果的情形下，重新提出了广义逆矩阵的定义，利用广义逆给出了线性方程组的解。Bott和Duffin在研究电网络理论时，引进了后来被称为Bott-Duffin广义逆。但这时期的研究工作是零散的。在Penrose1955年证明了Moore所定义的广义逆是满足四个矩阵方程的唯一的矩阵之后，广义逆矩阵得到迅速发展并在应用学科的诸多领域获得广泛的应用。近四十年来，广义逆矩阵理论在最优化、数理统计、算子理论、经济学和计算数学等众多数学分支和工程科技领域发挥了重大作用。尤其在研究最小二乘问题、病态线性、非线性问题，回归，分布估计，多元分析等统计问题，规划问题，控制论，网络问题的过程中，广义逆是不可或缺的研究工具。若A为非奇异矩阵,则线性方程组Ax=b的解为x=A^(-1)b，其中A的A的逆矩阵A^(-1)满足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I为单位矩阵)。若A是奇异阵或长方阵,Ax=b可能无解或有很多解。若有解,则解为x=Xb+(I-XA)у,其中у是维数与A的列数相同的任意向量,X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵,用A^g、A^-或A^(1)等符号表示,有时简称广义逆。当A非奇异时,A^(-1)也满足AA^(-1)A=A,且x=A^(-1)b+(I-A^(-1)A)у=A^(-1)b。故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A,都存在惟一的n×m阶矩阵X，满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)*＝AX；④(XA)*＝XA。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A^+。当A非奇异时，A^(-1)也满足①～④,因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。在