矩阵分解的研究及应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵分解的研究及应用摘要：将一矩阵分解为若干个矩阵的和或积，是解决某些线性问题的重要方法，其技巧性、实用性强。本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解。最后举例说明矩阵分解的应用。关键词：特征值分解秩分解三角分解和分解关于矩阵分解的形式的文献已有很多，但对于这个问题的分析各不相同。本文从四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。一、特征值分解*⎫⎛λ1⎪性质1：任意n阶矩阵A，存在酉矩阵T，使得A=T-1⎪T，其中λ1,,λn为矩阵A的0λn⎪⎝⎭特征值。称形如这样的分解叫做矩阵A的特征值分解。⎛J1⎫⎪性质1'：任意n阶矩阵A，存在酉矩阵T，使得A=T-1⎪T，其中Js⎪⎝⎭⎛λi⎫⎪1λi⎪，i=1,2,,s且λ1,,λs为矩阵A的特征值。Ji=⎪⎪1λi⎭ni⨯ni⎝对于对称矩阵有如下结论：⎛λ1⎫⎪定理1.1：若A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T，使得A=T-1其中λ1,,λn⎪T，λn⎪⎝⎭为矩阵A的特征值。*⎫⎛λ1⎪证明由性质1,知存在酉矩阵T，使得A=T-1⎪T0λn⎪⎝⎭又由于A为n阶实对称矩阵，因此⎛*⎫⎫'0⎫*⎫⎛λ1⎛λ1⎛λ1⎪⎪⎪⎪-1-1A'=T-1T=TT=A=T⎪⎪⎪⎪T0*0⎪λn⎪λn⎪λn⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭⎝*⎫⎛λ10⎫⎛λ1⎪⎪从而，得⎪=⎪0λn⎪λn⎪⎝⎭⎝*⎭⎛λ1⎫⎪因此A=T-1⎪T得证。λn⎪⎝⎭定理1.2：矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵B，使得A=B'B。证明必要性因为A为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵T，使得⎛λ1⎫⎪A=T-1⎪T，且λi>0，i=1,2,,nλn⎪⎝⎭令B=T-1⎝⎫⎪⎪T，则'⎫⎫⎪⎪'⎪T⎪=T⎪⎪⎭⎝⎫⎪-1'-1⎪(T)=T⎝⎫⎪⎪T⎛-1B'=T0⎝⎝从而有B'B=T-1⎝⎫⎪-1⎪TT⎝⎫⎪⎪T⎛=T-1⎝2⎫⎛λ1⎫⎪⎪⎪T=T-1⎪T=A⎪⎪2λ⎪n⎝⎭⎪⎭充分性因为A=B'B，则A'=(B'B)'=B'(B')'=B'B=A因此A为对称矩阵。又任意不为零的向量x，有x'Ax=x'B'Bx=(Bx)'(Bx)令Bx=(x1,,x2)，又B为非奇异矩阵，从而知Bx=(x1,,x2)≠0因此x'Ax=(Bx)'(Bx)=x12+x22++xn2>0所以A为正定矩阵。得证。定理1.3：设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵B，使得A=Bk，k为任意正整数。证明必要性因为A为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵T，使得⎛λ1⎫⎪A=T-1⎪T，且λi>0，i=1,2,,nλn⎪⎝⎭对任意的正整数k，令B=T-1⎝⎫⎪⎪T，则有⎛Bk=T-1⎝⎝⎫⎫⎪⎪⎪T⎪⎪⎪⎭k⎛-1=T⎝k⎫⎛λ1⎫⎪⎪⎪T=T-1⎪T=A⎪⎪kλ⎪n⎝⎭⎪⎭必要性由于B为正定矩阵，因此对任意的非零向量x，有x'Bx>0。k又A=Bk，则有A'=Bk'=(B')=Bk=A即A为对称矩阵()且有x'Ax=x'Bkx①当k为奇数时，x'Ax=x'Bkx=(Bx)'B(Bx)又B为正定矩阵，因此Bx≠0，即有x'Ax=x'Bkx=(Bx)'B(Bx)>0②当k为偶数时，x'Ax=x'Bkx=(Bx)'(Bx)又B为正定矩阵，因此Bx≠0，即有x'Ax=x'Bkx=(Bx)'(Bx)>0从而，知对任意不为零的向量x，有x'Ax>0。因此A是正定矩阵。得证。定理1.4：设A为一个n阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S和一个正交矩阵U，使得A=US或A=SU。证明由定理1.2，知B=A'A为正定矩阵由定理1.3,得存在正定矩阵S，使得B=S2令U=AS-1，则U'=AS-1'=S-1A'从而有kk-1k-1k-1kkkk()U'U=S-1A'AS-1=S-1S2S-1=E因此U=AS-1为正交矩阵。且又US=AS-1S=A同理可证A=SU的结论。得证。定理1.5：设A是n阶实对称矩阵，α1,α2,,αn是A的n个单位正交特征向量，对应的特征值为'''λ1,λ2,,λn。则A=λα11α1+λ2α2α2++λnαnαn。证明因为A为n阶实对称矩阵，由定理1.1,知存在正交矩阵T，使得⎛λ1⎫⎪A=T-1⎪Tλn⎪⎝⎭⎛α1⎫⎪α2设T=⎪，其中αi为T的的第i个行向量，则T-1=T'=(α1',α2',,αn')，于