矩阵分解——SVD分解（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）定义：设A是m*n矩阵，AHA的特征值为，则称为矩阵A的奇异值，r为A的秩。存在m阶酉矩阵U和N阶酉矩阵V，使得，其中。在matlab中的实现为：（1）S=svd(A)-----仅返回A的奇异值S（2）[U,S,V]=svd(A)------返回完全的形式构造矩阵>>A=reshape(1:12,4,3)A=159261037114812求矩阵的奇异值>>S=svd(A)S=25.43681.72260.0000矩阵的分解>>[U,S,V]=svd(A)U=-0.40360.73290.41200.3609-0.46470.2898-0.8184-0.1741-0.5259-0.15320.4006-0.7345-0.5870-0.59620.00570.5477S=25.43680001.72260000.0000000V=-0.2067-0.88920.4082-0.5183-0.2544-0.8165-0.82980.38040.4082在这里我们知道，U*S*Vans=1.46828.8076-5.22222.185210.3842-5.23382.902111.9609-5.24553.619113.5375-5.2572其并不为原始的A.应用：很多情况下，线性方程组Ax=b没有解，因此我们计算其最小二乘解，即使得||Ax-b||2最小的x，设A的SVD分解为，由于2-范数具有酉不便性，因此||Ax-b||2==，由此Ax=b的最小二乘解即是的最小二乘解。令，，的最小二乘解为，所以原方程组的最小二乘解为：。示例：求线性方程组构造矩阵>>A=[12;23;24];>>b=[123]';判断有无解>>rank(A)ans=2>>rank([A,b])ans=3由于rank(A)！=rank([A,b])，所以方程无解。求解U,S,V>>[U,S,V]=svd(A)U=-0.36300.2612-0.8944-0.5840-0.81180.0000-0.72610.52230.4472S=6.1537000.363400V=-0.4848-0.8746-0.87460.4848求解yy=U'*b./([diag(S);1])这里的1是用来保证位数的运算的，没有别的含义y=-0.60280.56270.4472>>y(3)=0用完之后要消除这个数，因为这个数根本不存在，上步是在运算的时候为了保证运算所加的y=-0.60280.56270求x>>x=V'*y(1:2)x=-0.20000.8000南京理工大学硕士学位论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用姓名：张少钦申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：黄振友20210623堡主迨奎二耋堑堕丝坌簦至箜堂坌堡垄基型墼壁望堡塑查旦摘要０－ＩＬｏ本文主要讨论的是矩阵微分算子ｉ１ＩＪＩ的谱分解，其中￡是半直线上的极限点型的非负自伴Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．假定Ｌ只有连续谱的情况下，分别对Ｌ的谱下界大于零和等于零的两种情况作了讨论．本文将该矩阵算子酉等价于某平方可积函数空间上的乘法算子，具体构造了这个酉等价，利用这个表示方法研究了这类微分算子生成的酉算子群在出射入射空间的作用．关键词：Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子；极限点型；谱表示；本性自伴．Ａｂｓｔｒａｃｔ硕士论文ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐ一髓ａｔｏｒ；０．－＇／，ｗ妇￡；ｓ龇一咖ｓｅ螂。酞ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ印一ｒ鼹ｈａｌｆ－ｌｉｎｅ，ｗｉｔｈＬｈａｖｉｎｇｏｎｌｙｃｏｎｔｉｎｕｅｉｎｔｗｏｃａｓｅｓ，ｏｎｅｓｐｅｃｔｒｕｍ．ＷｅｓｔｕｄｙｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｉｓｔｈａｔｔｈｅｌｅａｓｔｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆＬｉｓｚｅｒｏ，ｔｈｅｏｔｈｅｒｉｓｇｒｅａｔｅｒｔｈａｎｚｅｒｏ．ＷｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｍａｔｒｉｘｏｐｅｒａｔｏｒｔｏｂｅｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒＯｎｓｏⅡ玲ｓｑｕａｒｅｉｎｔｅｇｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｐａｃｅ．Ｂｙｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅａｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒｏｕｐｏｆｕｎｉｔａｒｙｏｐｅｒａｔｏｒｓｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｍａｔｒｉｘｏｐｅｒａｔｏｒｉｎ