最新范本,供参考！最新范本,供参考！最新范本,供参考！第一章极限与连续第一节数列的极限一、数列极限的概念按照某一法则，对于每一个，对应一个确定的实数，将这些实数按下标从小到大排列，得到一个序列称为数列，简记为数列，称为数列的一般项。例如：一般项分别为，，，，数列可看成自变量取正整数的函数，即，设数列，来说明数列以1为极限。为使，只需要，即从101项以后各项都满足，为使，只需要，即从100001项以后各项都满足，为使（是任意给定的小正数），只需要，即当以后，各项都满足。令，当时，，因此有，即任意给定小正数，总存在正整数，当时的一切都满足，则定义：设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时的一切都满足不等式则说常数是数列的极限，或者说数列收敛于，记为或如果不存在这样的常数，则说数列没有极限，或者说数列发散。数列以为极限的几何意义：任意给定的正数，总存在正整数，当时的一切，有即或也就是当的一切都落在的邻域内，在的外边至多有项（图）例1证明数列的极限为1。证明：①分析：为使，只需要，或，即②证明：任意给定小正数，取，当时的一切满足因此，例2已知，证明数列的极限是0。分析：为使，只需要，由于，故时，即，或时。证明：任意给定小正数，取，当时的一切满足因此，例3设，证明等比数列的极限是0。证明：任给（设），由于为使，只需，解得，或。故取，当时，有因此，。二、收敛数列的性质定理1（极限的唯一性）如果数列收敛，则它的极限是唯一的。证明：反证法：如果，，不妨设。取。由于，存在，当时，；又由于，存在，当时，。取，则当时，，，由得，由得，矛盾，故必须。例4证明数列（）是发散的。对于数列，如果存在正数，使得对于一切，有，则说数列是有界的；否则，则说数列是无界的。定理2（收敛数列的有界性）如果数列有极限，则数列一定有界。证明：注意到，可证明定理2。定理3（收敛数列的保号性）如果，且（或），则存在正整数，当时的一切，有（或）。证明：取即可证明定理。推论如果数列从某项起有（或），且，则（或）。对于数列，从中抽取，，，，称为数列的一个子数列。定理4如果数列收敛于，则数列的任何子数列都收敛，且收敛于。第二节函数的极限一、函数极限的定义1．自变量趋向于无穷大时函数的极限数列是特殊的函数，如，，且时，，考虑函数，是否有时，？任意给定小正数，为使，只要，即。由于，即即可。任给，存在正数，当时，对应的函数值满足即当时，以1为极限。定义1设函数当大于某一正数时有定义。如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得满足不等式时，对应函数值满足则说常数为函数当时的极限，记为或（当）：，，当时，。例1证明。分析：为使，只要，即，或。证明：，，当时，，因此。的几何解释：，，当时，即或如图所示：如果，，当时，，则说时，，记为；如果，，当时，，则说时，，记为显然，，例如：，有，。2．自变量趋向于有限值时函数的极限例1，，时，；例2：，定义域为，但时，；任意给定小正数，为使，只要，即即可。任意给定小正数，为使只要，即即可。定义2设函数在点的某一去心邻域内有定义。如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得满足不等式时，对应函数值满足则说常数为函数当时的极限，记为或（当）：，，当时，。例2证明。分析：为使，只要，即。证明：，取，当时，对应函数值满足因此，。的几何解释：，，当时，即或即时，如图所示：如果，，当时，，则说从的右侧趋向于（记为）时，，记为，或；如果，，当时，，则说从的左侧趋向于（记为）时，，记为，或；显然，，例3设函数当时，的极限不存在。例4证明例5证明例6证明例7证明二、函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果存在，则极限是唯一的。定理2（函数极限的局部有界性）如果，则存在正数和，使得当时，有。证明：定理3（函数极限的局部保号性）如果，且（或），则存在常数，使得当时，有（或）。推论如果在的某去心邻域内，（或），且，则（或）。定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限，为函数定义域内一收敛的数列，且（），则对应的函数值数列也收敛，且。证明：由于，则，，当时，有；又由于，故对于上面的，，当时，有，当然有；因此，，，当时，有，故，即。第三节无穷小与无穷大一、无穷小定义1如果函数当（或）时的极限为零，则函数称为当（或）时的无穷小。例如：，因此为时的无穷小；，因此为时的无穷小。为时的无穷小，，当时，；为时的无穷小，，当时，；