(每日一练)通用版高一数学指对幂函数知识汇总笔记单选题1、已知函数푓(푥)=푡푒푥−ln푥+ln푡对任意푥∈(0,+∞)都有푓(푥)≥0，则正数t的最小值为（）11A．푒2B．C．eD．푒2푒答案：D解析：转化푓(푥)≥0为푒푥+ln푡+푥+ln푡≥푒ln푥+ln푥，令푔(푥)=푥+ln푥，则푔(푥+ln푡)≥푔(ln푥)，结合푔(푥)的单调性分析即得解푥푥+ln푡根据题意得푓(푥)=푡푒−ln푥+ln푡=푒−ln푥+ln푡≥0，푥+ln푡ln푥即푒+푥+ln푡≥푥+ln푥=푒+ln푥，令푔(푥)=푥+ln푥，则푔(푥+ln푡)≥푔(ln푥)，由于푦=푥,푦=ln푥都在(0,+∞)单调递增故푔(푥)在푥∈(0,+∞)上单调递增，所以푥+ln푡≥ln푥，所以ln푡≥ln푥−푥在(0,+∞)上恒成立，′11−푥令ℎ(푥)=ln푥−푥,ℎ(푥)=−1=(푥>0)푥푥′令ℎ(푥)>0∴푥<1，故函数ℎ(푥)在(0,1)单调递增；′令ℎ(푥)<0∴푥>1，故函数ℎ(푥)在(1,+∞)单调递减故ℎ(푥)max=ℎ(1)=−1111所以ln푡≥(ln푥−푥)=−1，即푡≥，所以正数t的最小值为.max푒푒故选：D12、函数푦=ln(3−4푥)+的定义域是（）푥33A．(−∞,)B．(0,)4433C．(−∞,0)∪(0,)D．(,+∞)44答案：C解析：根据具体函数定义域的求解办法列不等式组求解.3−4푥>033由题意，{⇒푥<且푥≠0，所以函数的定义域为(−∞,0)∪(0,).푥≠044故选：C3、一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g2=0.301，1g3=0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1h）A．2.3小时B．3.5小时C．5.6小时D．8.8小时答案：A解析：药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．设从现在起经过푥小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．푥푥푥则2500×0.8=1500，0.8=0.6，lg0.8=lg0.6，푥lg0.8=lg0.6，6lglg0.610lg2+lg3−10.301+0.4771−1푥==8==≈2.3．lg0.8lg3lg2−13×0.301−1102故选：A．解答题4、已知푓(푥)=2+log3푥 ，  푥∈[1 ，  9](1)求函数푦=푓(푥2)的定义域;(2)求푦=[푓(푥)]2+푓(푥2)的最大值及其对应的푥值.答案：(1)[−3,−1]∪[1,3](2)푥=3时，푦的最大值为13解析：(1)由f（x）的定义域直接求解y＝f（x2）的定义域；(2)由f（x）的定义域，求出y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域，计算y＝[f（x）]2+f（x2）的值域．(1)∵f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，∴y＝f（x2）中푥满足1≤푥2≤9，∴1≤푥≤3或−3≤푥≤−1即定义域为[−3，−1]∪[1，3]；(2)∵f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，221≤푥≤9y＝[f（x）]+f（x）的定义域为{；1≤푥2≤9∴即定义域为[1，3]，∴0≤log3x≤1，22222∴y＝[f（x）]+f（x）=(2+푙표푔3푥)+（2+log3x）=(푙표푔3푥+3)−3∴当log3x=1时，即x=3时，y最大为13；小提示：3本题考查了复合函数的定义域问题及二次函数的值域问题，注意研究函数的值域时，先看定义域是关键，属于易错题．5、已知函数푓(푥)=log푎푥(푎>0,푎≠1)，且푓(4)−푓(2)=1.（1）求函数푓(푥)的表达式；（2）判断函数푔(푥)=푓(2+푥)+푓(2−푥)的奇偶性，并说明理由.答案：（1）푓(푥)=log2푥（2）偶函数.见解析解析：（1）根据푓(4)−푓(2)=1，代入到函数的解析式中可求得푎=2，可求得函数푓(푥)的解析式;（2）由函数푓(푥)的解析式，求得函数푔(푥)的解析式，先求得函数푔(푥)的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.（1）因为푓(푥)=log푎푥(푎>0,푎≠1)，且푓(4)