第三章推理与证明(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③不是合情推理．答案：C2．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2016能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2016是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：②是大前提，③是小前提，①是结论．答案：C3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线与空间中的平面类比．答案：D4．证明命题：“f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函数”，现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)，所以f′(x)＝ex－eq\f(1,ex)，因为x>0，所以ex>1,0<eq\f(1,ex)<1，所以ex－eq\f(1,ex)>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法．答案：A5．已知a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，试通过计算a2，a3，a4，a5的值推测出an＝()A.eq\f(3,2n)B．eq\f(3,n)C.eq\f(4,n)D．eq\f(2,n)解析：∵a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，∴a2＝eq\f(3×3,3＋3)＝eq\f(3,2)，∴a3＝eq\f(3×\f(3,2),\f(3,2)＋3)＝eq\f(3,3)，a4＝eq\f(3×1,1＋3)＝eq\f(3,4)，a5＝eq\f(3×\f(3,4),\f(3,4)＋3)＝eq\f(3,5).猜想：an＝eq\f(3,n).答案：B6．下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是()A．推理正确B．推理形式不正确C．大前提错误D．小前提错误解析：三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．答案：A7．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在(1)中应假设p＋q>2.故(1)的假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选D.答案：D8．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定()A．大于零B．等于零C．小于零D．正负都可能解析：f(x)＝x3＋x是奇函数且在R上是增函数，由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)，可得f(a)＋f(b)>0.同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0.所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.答案：A9．观察下列数表规律则从数2007到2008的箭头方向是()A．2eq\o(007,\s\do4(↑))→B．→2eq\o(007,\s\up6(↑))C．2eq\o(007,\s\up6(↓))→D．→2eq\o(007,\s\do4(↓))解析：因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列．若2007在上行，则2007＝3＋(n－1)×4⇒n∈N*，故2007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→eq\o(an,\s\do4(↓))，故选D.