第二章函数2.1生活中的变量关系函数的概念世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．问题1：某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？提示：没有依赖关系，不是函数关系．问题2：储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？提示：具有依赖关系，但不是函数关系．问题3：在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？提示：具有依赖关系，也是函数关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有的值时，才称它们之间具有函数关系.一枚炮弹发射后，经过26s落在地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什么？提示：A＝{t|0≤t≤26}．问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B是什么？提示：B＝{h|0≤h≤845}．问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函数关系吗？为什么？提示：具有，且是函数关系．因为对于数集A中的任意一个时间t，按照h＝130t－5t2，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应．给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中数x，在集合B中都存在的数f(x)与之对应，那么就把f叫做定义在集合A上的函数，记作.此时，x叫作自变量，集合A叫做函数的定义域，集合叫做函数的值域，习惯上称.1．区间2．无穷大概念：实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为.定义1．函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．2．对函数的理解：(1)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是对应法则所施加的对象；f是对应法则；y是自变量的函数，当x取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．3．区间是连续数集的另一种表示形式．[例1]下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？①正方形的面积和它的边长之间的关系；②姚明罚球次数与进球数之间的关系；③施肥量与作物产量之间的关系；④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系．[思路点拨]先分析是否存在依赖关系，再去判断是否有函数关系．[精解详析]①、②、③、④中两个变量都存在依赖关系，其中①、④是函数关系，②、③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系．[一点通]分析两个变量是否具有函数关系，关键是看它们的关系是确定的，还是不确定的．1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数解析：小麦总产量与施肥有关系，但这种关系又不是确定的．答案：A2．下列过程中，变量之间的关系是否为函数关系？(1)公路上行驶的汽车在路程一定的条件下，时间与平均车速之间的关系；(2)化学实验中，加入溶液中的溶质的质量与溶液浓度之间的关系．解：(1)是函数关系．其中时间是自变量，速度是因变量；反之也行；(2)是函数关系．其中溶质是自变量，溶液浓度是因变量；反之也行．[思路点拨]判断函数的定义域和对应关系是否一致．[精解详析](1)f(x)的定义域中不含有元素2，而g(x)定义域为R，即定义域不相同，所以不是同一函数．(2)f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数．(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．(4)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此不是同一函数．[一点通]函数有三个要素：定义域、值域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域和对应法则相同，这两个函数就是同一函数．答案：D4．如图所示，可表示函数y＝f(x)图像的只能是()解析：判断一个图像是否是某一个函数的图像，应看它是否符合函数的概念，即对定义域内的任意数x，按照某种确定的对应关