圆的方程(1)（教师版）【教学目标】：1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．【课前问题导引】1.在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？2.要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？【课上新知讲授】1．圆的标准方程的推导过程：圆的标准方程：（1）.以为圆心，为半径的圆的标准方程：.（2）.圆心在原点，半径为时，圆的方程则为：；（3）.单位圆：圆心在原点且半径为１的圆,其方程为：．注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．点在圆内、圆上、圆外的等价条件例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：(1)；(2)(3)(4)（5）【解】（如下表）方程圆心半径点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．例2：（1）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；（2）求圆心是，且经过原点的圆的方程．分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．解;(1)∵圆心为，半径长为，∴该圆的标准方程为：．把点代入方程的左边，＝右边,即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点；把点的坐标代入方程的左边，．即点坐标不适合圆的方程，∴点不在这个圆上．(2)法一：∵圆的经过坐标原点，∴圆的半径为：，因此所求的圆的方程为：，即．法二：∵圆心为，∴设圆的方程为，∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即，所以，∴所求圆的标准方程为：．点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．例3：(1)求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程；(2)已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．分析：（1）已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径．（2）根据为直径可以得到相应的圆心与半径．解：(1)∵圆与轴相切∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；所以圆的标准方程为：．（2）∵为直径，∴的中点为该圆的圆心即，又因为，所以，∴圆的标准方程为：．点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．例4：已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出半圆的方程，对应求出当时的值，比较得出结论．解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：将代入得，即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？解：将代入得，即限高为．【课上当堂练习】课本P8、习题1~6补充：1．圆：的圆心坐标和半径分别为__________；__________．2．圆心为且与直线相切的圆的标准方程为．3．以为圆心且过点的圆的标准方程为．4．若点在圆外，则实数的取值范围是．5．求过点且与轴切于原点的圆的标准方程．【课时小结】圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程．【板书设计】【教学反思】【补充练习】一基础题1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为；（2）经过点，圆心为．解：（1）；（2）．2．求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程．解：由题意：半径，所以圆的方程为：．3.圆的内接正方形相对的两个顶点为，，求该圆的方程．解：由题意可得为直径，所以的中点为该圆的圆心即又因为∴，∴圆的标准方程为：．4．求过两点，，且圆心在直线上的圆的标准方程．解：设圆心坐标为，圆半径为，则圆方程为，∵圆心在直线上，∴①又∵圆过两点，，∴②且③由①、②、③得：，∴圆方程为．思维点拔：由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．二、提高题（由于本节内容为A级考点，故不做深挖）