课时分层作业(十一)直线与平面垂直的判定(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥αD[由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确，选D.]2．如图2­3­7，三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是()图2­3­7A．∠BPAB．∠PBAC．∠PBCD．以上都不对B[由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.]3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABCC[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]4．如图2­3­8，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()【导学号：07742146】图2­3­8A．异面B．平行C．垂直D．不确定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.]5．如图2­3­9，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()图2­3­9A．eq\f(\r(6),4)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),3)D．eq\f(\r(3),3)A[如图，取C1A1、CA的中点E、F，连接B1E与BF，则B1E⊥平面CAA1C1，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1，连接AH，则∠DAH即为所求的线面角．DH＝B1E＝eq\f(\r(3),2)，DA＝eq\r(2).所以sin∠DAH＝eq\f(DH,DA)＝eq\f(\r(6),4).选A.]二、填空题6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.【导学号：07742147】[答案]a，b相交7．如图2­3­10所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．图2­3­10CD⊥AB[∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.]8．如图2­3­11，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________.【导学号：07742148】图2­3­11eq\f(\r(5),5)[连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝eq\r(5)，则tan∠FEB＝eq\f(BF,BE)＝eq\f(\r(5),5).]三、解答题9．如图2­3­12，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.图2­3­12[证明]∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.10．如图2­3­13，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.【导学号：07742149】图2­3­13[解]由题意知，A是M在平面ABC内的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB内的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．又∵在Rt△BMC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5,2)eq\r(3).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(BM2－BA2)＝eq\r(52－42)＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5,2)\r(3))＝eq\f(2,5)eq\r(3).故MC与平面CAB所成角的正弦