矩阵相似的条件（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）§8-4矩阵相似的条件在求一个数字矩阵的特征值和特征向量时曾出现过矩阵,我们称它为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个数字矩阵和相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.引理1:如果有数字矩阵使,(1)则和相似.引理2:对于任何不为零的数字矩阵和矩阵与，一定存在矩阵与以及数字矩阵和使,(2).(3)定理7:设，是数域上两个矩阵.与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.矩阵的特征矩阵的不变因子以后简称为的不变因子.因为两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论:矩阵与相似的充要条件是它们有相同的不变因子.应该指出，矩阵的特征矩阵的秩一定是.因此，矩阵的不变因子总是有个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.矩阵的相似对角化一、填空题1.若。2.设矩阵，则A的全部特征值为。3.若λ=3是可逆方阵A的一个特征值，则A-1必有一个特征值为______。4.设,分别属于方阵A的不同特征值λ1,λ2的特征向量，则与必线性_____。5.设A为实对称矩阵，=(-1,1,1)T，=(3,-1,a)分别是属于A的相异特征值λ1与λ2的特征向量，则a=_____。6.设三阶方阵A的特征值为1，-1，-1，且B=A2，则B的特征值为_____。7.设A为4阶方阵，A的4个特征值为-2，-1，1，2。则。8.若阶矩阵A有一特征值为2，则。9.设矩阵A=与B=相似，则y=_______。10.设矩阵A=，则与其相似的对角矩阵有________。二、选择题1.已知（）A．1或2B．-1或-2C．1或-2D．-1或2若（）A．它们的特征矩阵相似B．它们具有相同的特征向量C．它们具有相同的特征矩阵D．存在可逆矩阵2.设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是（）A．Ax=2xB．A-1x=xC．A-1x=2xD．A2x=4x3.设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（）A．0B．1C．2D．3三、计算题1.已知矩阵（1）求；（2）。2.设3阶方阵A的三个特征值为，A的属于的特征向量依次为，求方阵A。3.设三阶方阵A的特征值为1，2，-2，又B=3A2-A3,说明B能否对角化?若能对角化，试求与B相似的对角阵。4.求矩阵A=的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由。学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导老师：AGraduationThesis(Project)SubmittedtoSchoolofScience,HubeiUniversityforNationalitiesInPartialFulfillmentoftheRequiringforBSDegreeIntheYearof2021DiagonalizationoftheMatrixanditsApplicationsStudentNameStudentNo.:Specialty:Supervisor:DateofThesisDefense:DateofBookbinding:摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IAbstractThematrixisanimportanttoolincollegemathematics,andcansimplifythedescriptionlanguagebasedontheapplicationofmatrixinmanyways.Soitiseasiertounderstandinmanyfields,forexample,linearequations,quadraticequations.Inma