矩阵的求解（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵方程的求解问题白秀琴（平顶山工业职业技术学院，基础部，河南平顶山467001）摘要：主要考察了矩阵方程的求解问题，给出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的两种求解方法。关键词：矩阵；矩阵的逆；矩阵方程矩阵是线性代数中的最重要的部分，它贯穿于线性代数的始终，可以说线性代数就是矩阵的代数，矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。矩阵方程是矩阵运算的一部分，这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题。掌握简单的矩阵方程的求法，对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。简单的矩阵方程有三种形式：如果这里的、都是可逆矩阵，则求解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。它们的解分别为：例如，求解方程先考察是否可逆，如果可逆时，方程两边同时左乘，得即这里要注意只能左乘不能右乘，因为矩阵的乘法不满足交换律。同样，对于方程只能右乘，得即而对于方程只能是左乘而右乘，得即看下面解矩阵方程例题：例1：解：先求出，则则例2：解：先求出，则则例3：解：先求出，则则例4：解矩阵方程其中，是三阶单位方阵。解：移项，将矩阵方程化为标准形式：由于可逆，两边同时左乘，得注：如果按计算，需要先求，再求，最后相乘，计算量大且易出错。因此应先尽量化简矩阵方程，再计算求解。当矩阵方程中的、不是方阵或者是不可逆的方阵时，前面的方法就不能用了。这时，我们需要用待定元素法来求矩阵方程。设未知矩阵的元素为，即，然后由所给的矩阵方程列出所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素，从而得到所求矩阵。例5：解矩阵方程解：利用元素法，先确定的行数等于左边矩阵的行数的列数等于积矩阵的列数，则是的矩阵。设，则即，于是得方程组解得，所以，其中为任意实数。例6：解矩阵方程其中，由于，所以是不可逆矩阵，需要用元素法求解。设则，即比较第一列元素得，解得同样，比较第二、三列元素可得对应方程组，分别解得，所以可得，其中是任意实数。总之，对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵，如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵。参考文献：[1]赵树塬。线性代数[M]。北京：中国人民大学出版社，1997[2]李君文，线性代数理论与解题方法[M]。长沙：湖南大学出版社，2002有限元刚度矩阵的压缩存贮组集及快速求解姚松田红旗1中南大学轨道交通安全教育部重点实验室,湖南长沙,410075摘要:基于“细胞元”索引存贮方案提出了一种仅组集有限元刚度矩阵中“非零元素”的方法,该方法最突出的特点是计算所需内存空间与有限元网格节点和单元的编号模式无关,适于进行“自适应网格细化”有限元分析。针对刚度矩阵的“一维压缩存贮”格式,对稀疏矩阵直接解法和预处理共轭梯度法进行了探讨,并编制了相应的计算机程序对某地铁车辆有限元模型进行了分析,计算结果与ANSYS5.7的计算结果一致,相差不超过2%,说明提出的存贮方案和求解方法是正确可靠的。关键词:细胞元;组集;非零元素;稀疏直接求解法;预处理共轭梯度法1概述有限元方法自1956年首次应用于飞机结构分析以来,由于其具有几何适应性强、易于处理非线性等优点,已成为科学和工程计算领域应用最为广泛的数值方法之一[1]。在结构有限元分析中,对求解域进行空间离散以后,经常产生大型或巨型的稀疏线性方程组A•X=F,对称正定的系数矩阵A通常称为结构总体刚度矩阵,其大小为ND×ND,ND为结构的总自由度数,刚度矩阵A所需的存贮空间随结构规模增大而增加极快,以至于限制了求解规模。目前,刚度矩阵的存贮方案[2-4]多采用二维等带宽存贮或Profile/Envelope结构(即一维变带宽。采用二维等带宽存贮时将有可能由于局部带宽过大而使整体刚度系数矩阵的存贮量大大增加;一维变带宽存贮虽然会比等带宽存贮节省内存空间,但是对于Skyline下的零元素还是要加以存贮,且存贮的零元素数量取决于单元和节点的编号模式。毫无疑问,仅对整体刚度矩阵A中的非零元素进行存贮是最节省存贮空间的方法[5],由于仅对其中的非零元素进行操作,从而提高了计算效率。另外该存贮格式具有如下特点:无论是对存贮还是方程的求解来说,所需要的内存空间与有限元网格划分时节点和单元的编号模式无关。因此该方法高度适合“h-自适应网格细化”有限元分析,由于没有必要对新产生的节点和单元进行重新编号从而降低了计算要求。本文提出了基于“一维压缩存贮”的整体刚度矩阵组集方法,并针对刚度矩阵的压缩存贮格式,讨论了大型有限元方程组的快速求解方法。2结构稀疏刚度矩阵的存贮对于某地铁车辆的车体有限元模