矩阵的逆（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）§4矩阵的逆一、可逆矩阵的概念在§2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节矩阵，如不特别声明，都是矩阵.对于任意的级方阵都有这里是级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数的倒数可以用等式来刻划，相仿地，我们引入定义7级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得,(1)这里是级单位矩阵.首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵，适合等式(1)的矩阵是唯一的(如果有的话).定义8如果矩阵适合(1)，那么就称为的逆矩阵，记为.二、可逆矩阵的逆矩阵的求法下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵是可逆的？如果可逆，怎样求？定义9设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为矩阵的伴随矩阵.由行列式按一行(列)展开的公式立即得出：,(2)其中.如果，那么由(2)得.(3)定理3矩阵可逆的充要条件是非退化的，而根据定理3容易看出，对于级方阵，如果那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.由(5)可以看出，如果，那么推论如果矩阵可逆，那么与也可逆，且.利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组可以写成.(6)如果，那么可逆.用代入(6)，得恒等式，这就是说是一个解.如果是(6)的一个解，那么由得,即.这就是说，解是唯一的.用的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.定理4是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么秩（）=秩（）=秩（）.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第五章二次型§5.1习题1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使是对角形式：(i)(ii)(iii)3．写出二次型的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项．4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件．(i)A必与如下形式的一个矩阵合同：(ii)斜对称矩阵的秩一定是偶数．(iii)F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．§5.2复数域和实数域上的二次型1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得．2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：4．证明，一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0．5．令证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得．6．确定实二次型的秩和符号差．7．确定实二次型的秩和符号差．8．证明，实二次型的秩和符号差与无关．§5.3正定二次型1．判断下列实二次型是不是正定的:;2．取什么值时,实二次型是正定的.3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数,使得是正定的.4．证明,阶实对称矩阵是正定的,必要且只要对于任意,阶子式5．设是一个阶正定实对称矩阵.证明当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.[提示:对作数学归纳法,利用定理的证明及