课时分层作业(九)等差数列的性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列C[由a，b，c成等差数列知2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝a＋2＋c＋2，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．39B．20C．19.5D．33D[由题意知，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝33.]3．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4B[由题知a1＋a5＝2a3＝10，所以a3＝5，又a4＝7，所以公差d＝a4－a3＝2.]4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0B．a2＋a101<0C．a3＋a99＝0D．a51＝51C[根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C．]5．已知{an}、{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为()A．－6B．6C．0D．10B[由于{an}、{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.故选B．]二、填空题6．在等差数列{an}中，a2＋a5＝9，a8＝6，则a2＝______.4[法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝9，,a8＝6，))∴a2＋a5＋a8＝3a5＝15，∴a5＝5，a2＝4.法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝9，,a8＝6，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3d＝9，,a2＋6d＝6，))解得a2＝4.]7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．1或2[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]8．在等差数列{an}中，已知a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则eq\f(1,2)a50＋a20＋a80＝________.eq\f(25,2)[由题意，知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a99＝10.又因为{an}是等差数列，所以a50＝eq\f(a1＋a99,2)＝5，故eq\f(1,2)a50＋a20＋a80＝eq\f(5,2)a50＝eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,2).]三、解答题9．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解]设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.10．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．[解]法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝eq\f(1,3)，∴a4＋a8＝2a6＝eq\f(2,3).法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq\f(1,3).∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝eq\f(2,3).(2)设公差为d，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋