第3章控制系统的时域分析知识要点目录§3.1线性定常系统的时域响应系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。由线性微分方程理论知，方程式的解由两部分组成，即c(t)=c1(t)+c2(t)(3-2)c1(t)——对应齐次微分方程的通解c2(t)——非齐次微分方程的一个特解从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t→∞时系统的输出，衡量其好坏是稳态性能指标：稳态误差。系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如稳定性、快速性、平稳性等来衡量。§3.2控制系统时域响应的性能指标1．上升时间tr：从零时刻首次到达稳态值的时间,即阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。2.峰值时间tp：从零时刻到达峰值的时间，即阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。3.最大超调量Mp：阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即4.调整时间ts：阶跃响应曲线进入允许的误差带(一般取稳态值附近±5%或±2%作为误差带)并不再超出该误差带的最小时间，称为调整时间(或过渡过程时间)。5.振荡次数：在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。3.3线性定常系统的稳定性设n阶线性定常系统的微分方程为对式(3-7)作拉氏变换，得在式(3-8)中取R(s)=0，若pi为系统特征方程D(s)=0的根，则在初始状态影响下系统的时间响应(即零输入响应)为若系统所有特征根pi的实部均为负值，即Re［pi］<0则零输入响应(暂态响应)最终将衰减到零，即反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则暂态响应将随时间的推移而发散，即这样的系统就是不稳定的。综上所述，系统稳定的充分必要条件是系统特征根的实部均小于零，或系统的特征根均在根平面的左半平面。3.3.3劳斯判据其中劳斯判据给出了控制系统稳定的充分条件是劳斯表中第一列所有元素均大于零。例3-1已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为故得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，且a1a2>a0a3例3-2已知系统特征方程方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的即所有特征根均s平面的左半平面。例3-3系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表：劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根。例3-4系统特征方程它有一个系数为负的，有劳斯判据的系统不稳定。但究竟有几个右根，仍需列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半平面的根有两种特殊情况需要说明：＊1.劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素并不为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。＊2.劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定的。用一个很小的正数代替例3-6系统特征方程列劳斯表劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由P(s)=0求得即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。例3-7系统的特征方程为列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个右半平面的根，由P(s)=0得3.3.5系统参数对稳定性的影响列劳斯表按劳斯判据，要使系统稳定，应有K>0，且30-K>0，故K的取值范围为0<K<30。例3-11系统结构图如图3-3所示，试分析参数K1，K2，K3和T对系统稳定性的影响。解系统的闭环传递函数特征方程为由于特征方程缺项，由劳斯判据知，不论K1，K2，K3和T取何值系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。欲使系统稳定，必须改变系统的结构。如在原系统的前向通道中引入一比例微分环节，如图3-4所示。变结构后系统的闭环传递函数为特征方程为列劳斯阵列：系统稳定的充分必要条件为即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。3.3.6相对稳定性和稳定裕量例3-12检验特征方程式是否有根在s右半平面，以及有几个根在s=-1垂线的右边。解列劳斯表：由劳斯判据知，系统稳定，所有特征根均在s的左半平面。令s=s1-1代入D(s)得s1的特征方程式列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变一次，表示系统有一个根在s1右半平面，也就是