九均值不等式及其应用（25分钟50分）一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．若x>0，y>0，则2x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,2y)的最小值是()A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C．4D．2【解析】选A.由基本不等式得2x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,2y)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＋2eq\r(y·\f(1,2y))＝2eq\r(2)＋eq\r(2)＝3eq\r(2)，当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)，y＝eq\f(\r(2),2)时等号成立，因此，2x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,2y)的最小值为3eq\r(2).2．设实数a，b满足b>0，且a＋b＝2.则eq\f(1,8\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)),b)的最小值是()A．eq\f(9,8)B．eq\f(9,16)C．eq\f(7,16)D．eq\f(1,4)【解析】选C.由题意可知a≠0.当a>0时，eq\f(1,8\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)),b)＝eq\f(a＋b,16a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(1,16)＋eq\f(b,16a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(1,16)＋2eq\r(\f(b,16a)·\f(a,b))＝eq\f(9,16)，当且仅当eq\f(b,16a)＝eq\f(a,b)且a＋b＝2，即a＝eq\f(2,5)，b＝eq\f(8,5)时取等号，当a<0时，eq\f(1,8\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)),b)＝－eq\f(a＋b,16a)－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,16a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))≥－eq\f(1,16)＋2eq\r(－\f(b,16a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b))))＝eq\f(7,16)，当且仅当eq\f(b,16a)＝eq\f(a,b)且a＋b＝2时取等号，综上可得eq\f(1,8\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)),b)的最小值为eq\f(7,16).3．(2021·湖州高一检测)若正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(4,b－1)的最小值为()A．4B．6C．9D．16【解析】选A.方法一：由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，可得a＝eq\f(b,b－1)，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(4,b－1)＝b－1＋eq\f(4,b－1).由a，b为正数且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，可得a>1，b>1，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(4,b－1)＝b－1＋eq\f(4,b－1)≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－1))·\f(4,b－1))＝4，当且仅当b－1＝eq\f(4,b－1)，即b＝3，a＝eq\f(3,2)时等号成立．方法二：由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，可得eq\f(1,a－1)＝eq\f(b,a)，eq\f(1,b－1)＝eq\f(a,b)，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(4,b－1)＝eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝4，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(3,2)，b＝3时等号成立．4．(多选题)设a>0，b>0，下列不等式