§?2不等式的证明（二）一、复习要点??在掌握证明不等式的比较法、综合法、分析法褪Ч槟煞ǖ幕∩希褂φ莆张斜鹗椒ā⒒辉ā?反证法以及放缩技巧．放缩技巧贯穿在证明任一不等式的过程之中．放缩的方法很多，诸如增减项或因式、判别式、函数单调性和有界性，二、三元均值不等式，等等．??二、例题讲解例1?已知ｉ、ｍ、ｎ是正整数，且1＜ｉ≤ｍ＜ｎ．（1）证明ｎＰｉｉｍ＜ｎＰｎｉｉｎ；ｍ（2）证明（1＋ｍ）＞（1＋ｎ）．（2001年高考理科试题）讲解：为了看清问题，我们不妨取ｉ＝2，ｍ＝3，ｎ＝4，则（1）可特殊化为证明4·２＜3·２．这时，既可证明（4／3）＜（?又可证明（4·２２２／）或（／）＜（3／4），２２）／（3·２）＜1或（3·２）／（4·２）＞1．其中的证明必会启迪一般化的证明思路，即为证明（1），需对其作等价变形，证明方法并不惟一，可用分析法、综合法、数学归纳法等来证．一般说来，高考数学试题如果有几问，则它们往往是有联系的，前者常常是后者的铺垫，后者常常要用到前者的结论，故而欲证（2），须从（1）出发，寻找（1）与（2）的联系便是我们的解题方向，消灭其差异就可获解．?过程请读者思考．?在以能力立意的高考数学试题中，新颖而陌生的情境是体现公平竞争的标志，是考生展现其能力的良机．还想说明一点，如果不借用（1），那么（2）又如何证明呢?我们作以下变形：（1＋ｍ）＞（1＋ｎ）??ｎｍｎｌｇ（1＋ｍ）＞ｍｌｇ（1＋ｎ）ｌｇ（1＋ｍ）／ｍ＞ｌｇ（1＋ｎ）／ｎ，设ｆ（ｘ）＝ｌｇ（1＋ｘ）／ｘ），ｘ∈Ｎ，则问题转化为证明该函数是减函数，这与原问题的难度没什么两样．如果作出函数ｙ＝ｌｇ（1＋ｘ）的图象（图4－1），则［ｌｇ（1＋ｘ）］／ｘ可看成图象上一点与原点连线的斜率．这样，问题的几何意义便是明显的．这代替不了证明!图4－1我们又想，既然要证ｌｇ（1＋ｍ）／ｍ）＞ｌｇ（1＋ｎ）／ｎ，则一定有ｌｇ2／1＞ｌｇ3／2＞ｌｇ4／3＞ｌｇ5／4＞…＞ｌｇ（ｎ＋1）／ｎ．?这启发我们，反之也许可证，即只要证明了ｆ（1）＞ｆ（2）＞ｆ（3）＞ｆ（4）＞…＞ｆ（ｎ），就证明了ｆ（ｍ）＞ｆ（ｎ）．为此，仅需证明，当ｎ≥2时，有ｌｇｎ／（ｎ－1）＞［ｌｇ（1＋ｎ）］／ｎ．即?ｎ＞（1＋ｎ）ｎｎ－1，ｎ亦即?ｎ＋1＞（1＋（1／ｎ））．（*）（*）的证明可用数学归纳法，亦可用二项展开式进行放缩．留给读者完成．有趣的是，借用ｎ元算术平均数与几何平均数的不等式，亦可直接证明（2）：（1＋ｎ）＝（ｍ个）（1＋ｎ）｛［（1＋ｎ）·…·（1＋ｎ）｝｛］·（ｎ－ｍ个）［1·1·1·…·1］｝＜｛［（ｍ（1＋ｎ）＋（ｎ－ｍ）·1］／［ｍ＋（ｎ－ｍ）］｝＝（1＋ｍ）．不等式对训练思维的价值我们从此例可见一斑，探索是艰难的，但更是有趣的！更多的证法可参见本刊2001年第8期的高考试题解法介评．例2?已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ａ＋ｂ＝1，求证：（ａ＋2）＋（ｂ＋2）≥（25／2）．讲解：观察条件和待证不等式的结构，可知连接它们的“桥”较多，可从不同的角度来思考．思考一、用作差比较来完成，利用ａ＋ｂ＝1可将二元问题化为一元问题．思考二、用分析法来完成，最终可化为证（ａ－（1／2））≥0．?思考三、用综合法来完成，由（ａ－（1／2））≥0出发进行变形．思考四、用反证法来完成．思考五、用放缩法来完成，利用基本不等式ａ＋ｂ≥2（（ａ＋ｂ）／2）．思考六、用均值换元法来完成，设ａ＝（1／2）＋ｔ，ｂ＝（1／2）－ｔ．思考七、用构造函数法来完成，由ａ＋ｂ＝1，设ｙ＝（ａ＋2）＋（ｂ＋2），则ｙ＝2ａ－2ａ＋13＝2（ａ－（1／2））＋（25／2）≥（25／2）．思考八、用判别式法来完成，在得到ｙ＝2ａ－2ａ＋13后，改变观点，视其为方程，有2ａ－2ａ＋13－ｙ＝0．?因ａ∈Ｒ，则Δ?＝4－4×2×（13－ｙ）≥0，从而（ａ＋2）＋（ｂ＋2）≥（25／2）．思考九、用数形结合法来完成，欲证不等式的几何意义是：点（－2，－2）到直线ａ＋ｂ＝1上的点的距离的平方和的最小值为（25／2）．利用平面几何知识及点到直线距离公式易得．知识链之间的等价联系是产生一题多解的本质所在，弄懂了这个法宝必然会促使解题（思维）能力的逐步提高．例3已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（（1／ｘ）－1），ｘ∈（0，（1／2）），若ｘ１，ｘ２∈（0，（1／2））且ｘ１≠ｘ２，求证：（1／2）［ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）］＞ｆ（（ｘ１＋ｘ２）／2）．?讲解：要证明原不等式，只需证明（（1／ｘ１）－1）（（1／ｘ２）－1）＞（2／（ｘ１＋ｘ２）－1）．事实上，?0＜ｘ１，ｘ２＜（1／2），ｘ１≠ｘ