第19讲两角和与差的三角函数【考点解读】1.熟练记忆三角函数的两角和差的正弦公式和余弦公式、正切公式并能熟练运用；2.联系三角函数的有关的图像以及性质，往往先化简后，然后利用三角函数的性质求解。【知识扫描】1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)＝;tan(α±β)＝.3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1－tanαtanβ＝4．常见的角的变换：2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝(α－)－(－β)；＝【考计点拨】牛刀小试1．若3sinα＋cosα＝0，则eq\f(1,cos2α＋sin2α)的值为()A.eq\f(10,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D．－2解析：选A.3sinα＋cosα＝0，则tanα＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,cos2α＋sin2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(tan2α＋1,1＋2tanα)＝eq\f((－\f(1,3))2＋1,1＋2×(－\f(1,3)))＝eq\f(10,3).2．若=（）A．B．C．D．3．若α∈(eq\f(π,2)，π)，且sinα＝eq\f(4,5)，则sin(α＋eq\f(π,4))－eq\f(\r(2),2)cosα＝()A.eq\f(2\r(2),5)B．－eq\f(2\r(2),5)C.eq\f(4\r(2),5)D．－eq\f(4\r(2),5)解析：选A.sin(α＋eq\f(π,4))－eq\f(\r(2),2)cosα＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)－eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2\r(2),5).故选A.4．已知cos(α＋eq\f(π,3))＝sin(α－eq\f(π,3))，则tanα＝________.解析：∵cos(α＋eq\f(π,3))＝sin(α－eq\f(π,3))，∴cosαcoseq\f(π,3)－sinαsineq\f(π,3)＝sinαcoseq\f(π,3)－cosαsineq\f(π,3)，∴tanα＝1.答案：15．(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考4)已知且，则.【解析】且，.[典例分析]考点一：求三角函数值例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.解：原式======变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（）A.B.7C.－D.－7(2)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－B.C.－D.解：(1)A(2)B规律小结：在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，要细心观察题目的待征，灵活，恰当地选用公式，一般情况下是将切化弦。考点二：给值求值例2.已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．解：∵α－＋＋β＝α＋β＋α∈()β∈(0,)∴α－∈(0,)β＋∈(,π)∴sin(α－)＝cos()＝－∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝－cos[(α－)＋()]＝变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+β）.解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］==∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.规律小结：将未知角用已知角的代数式表示，而且要特别注意角的范围。考点三：给值求角例3.若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.解∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，∴cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×=①又∵＜A＜,＜B＜,∴＜A+B＜2②由①②知，A+B=.变式训练3：在△ABC中，角A、B、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.解在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,