第三节基本函数公式与高阶导数一、基本导数公式二、高阶导数一、基本函数公式基本初等函数公式(1)C'?0(C为常数);(2)(x)'?axaxxa?1;xx(3)(a)'?a?lna(a?0,a?1);(e)'?e(4)(loga|x|)'?1xlna,(ln|x|)'?1x;(5)(sinx)'?cosx;(6)(cosx)'??sinx;(7)(tanx)'?secx;2(8)(cotx)'??cscx;2(9)(secx)'?secx?tanx;(10)(cscx)'??cscx?cotx;(11)(arcsinx)'?11?x(12)(arccosx)'??2;1;21?x(13)(arctanx)'?11?x2;(14)(arccotx)'??11?x2.基本求导法则(Ⅰ)线性法则:(au?bv)'?au'?bv',a,b为常数;(Ⅱ)积法则:(uv)'?uv'?uv';(Ⅲ)商法则:()'?vuu'v?uv'v2,v?0;(Ⅳ)链式法则:{f[u(x)]}'?f'[u(x)]u'(x);其中{f[u(x)]}'表示复合函数f[u(x)]对x求导,f'[u(x)]?f'(u)|u?u(x)表示函数f(u)对u求导,然后代入u=u(x).(Ⅴ)反函数法则:f'(x)?1?'(y),?'(y)?0,其中y=f(x)为x??(y)的反函数.二、高阶导数话愕?如果函数y=f(x)的导函数f'(x)在点x处可导,则称导函数f'(x)在点x的导数为函数f(x)的二阶导数,记为y''或dydx22或f''(x)或df(x)dx22类似的,定义y=f(x)的二阶导数f''(x)的导数为三阶导数,记为y'''或dydx33或f'''(x)或df(x)dx33如果函数y=f(x)的n－1阶导数存在且可导,则称y的n－1阶导数的导数为y=f(x)的n阶导数,记为y(n)nn或dydxn或f(n)(x)或df(x)dxnn阶导数(n=1,2,…)在点x0处的值记为y(n)|x?x0或dydxnn|x?x或f0(n)(x0)或df(x0)dxnn二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.如果函数y=f(x)的n阶导数存在,则称y=f(x)为n阶导数.例3.16设y=(asinx+bcosx)ex,其中a,b为常数.试证:y''?2y'?2y?0证因为y'?(acosx?bsinx)e?(asinx?bcosx)exx?[(a?b)sinx?(a?b)cosx]exy''?[(a?b)cosx?(a?b)sinx]e?[(a?b)sinxx?(a?b)cosx]ex?2(acosx?bsinx)ex所以y''?2y'?2y?2(acosx?bsinx)ex?2[(a?b)sinx?(a?b)cosx]e?2(asinx?bcosx)exx=2[acosx?bsinx?(a?b)sinx?(a?b)cosx?asinx?bcosx]e?0x例3.17求下列函数的n阶导数:(1)y=ax(a>0,a≠1);(3)y=ln(1+x).解(1)y'?alnax(2)y=sinx;y''?a(lna)xx2y'''?a(lna)?lna?a(lna)2x3一般地,有y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n,n=1,2,…特别地,a=e时,有(ex)(n)=ex,n=1,2,…(2)y'?(sinx)'?cosx?sin(x?π2)y''?cos(x??sin(x?π2π2)?π2π2))?sin(x?2?一般地,有y(n)?(sinx)(n)?sin(x?n