《通信原理习题选》第三章随机过程1．设Yt()=X()tcos(2πfct+θ)，其中X(t)与θ统计独立，X(t)为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为RX(τ)，PX(f)。(1)若θ在(0,2π)均匀分布，求Yt()的均值、自相关函数和功率谱密度；(2)若θ为常数，求Yt()的均值、自相关函数和功率谱密度。解：无论是(1)还是(2)，都有EY⎣⎦⎡⎤()t=+E⎣⎡X(t)⎦⎤E⎣⎡cos(2πθfct)⎦⎤=0RY()ττ=+E⎣⎦⎡⎤Yt()Yt()=+E⎣⎦⎡⎤X()tfcos2(πθcct)X(t+τ)cos2(πftf+θ+2πcτ)=+E⎣⎡X()tX(tτ)⎦⎣⎤⎡Ecos(2πθftcc++)cos(2πθft+2πfcτ)⎦⎤1=+RE()τπ⎡⎤cos2fτcos(4πft+2θ+2πfτ)2Xc⎣⎦cc11=+Rf()τπcos2τR()τE⎡cos(4πft+2θ+2πfτ)⎤22XcX⎣cc⎦在(1)的条件下，θ的概率密度函数为⎧1⎪θ∈[0,2π)p()θ=⎨2π⎩⎪0else于是12πEf⎡⎤cos4()πt++2θ2πτf=cos4()πft+2θ+2πτfdθ=0⎣⎦cc2π∫0cc因此1R()τ=Rf()τπcos2τYX2c∞Pf=Rττe−jf2πτdYY()∫()−∞∞Rf()τπcos2τ=∫Xced−jf2πττ−∞2Pf()−+fP(f+f)=XcXc4在(2)的条件下11R()τ=+Rf()τπcos2τR()τcos(4πft+2θ+2πfτ)YX22cXcc1/15《通信原理习题选》表明Yt()是循环平稳过程。对时间t平均，由于cos()4πθftc+2+2πfcτ=0，所以Yt()的平均自相关函数是1R()τ=Rf()τπcos2τYX2c因此平均功率谱密度是Pf(−+f)P(f+f)Pf()=XcXcY4N2．双边功率谱密度为0的白噪声经过传递函数为H(f)的滤波器后成为X(t)，若2⎧Ts1⎪()1c+osπfTsf≤Hf()=⎨2Ts⎪⎩0else求X(t)的功率谱密度及功率。解：X(t)的功率谱密度为2⎧NT0s212N0⎪()1c+osπfTsf≤PfX()==H()f⎨8Ts2⎪⎩0elseX(t)的功率为12∞NT23NTTs00ssPP==Xs()fdf1()1c+osπTfdf=∫∫−∞−88Ts3．Yt()是平稳白噪声nt()通过图a所示电路的输出，图a中滤波器的传递函数H(f)如图b示，求Yt()的同相分量及正交分量的功率谱密度，并画出图形。图(a)图(b)2/15《通信原理习题选》解:首先平稳过程通过线性系统还是平稳过程。所以Yt()是窄带平稳过程，其带宽为B。若Yt()的功率谱密度为PY(f)，则根据窄带平稳过程的性质可知Yt()的同相分量Yc(t)、正交分量Yt的功率谱密度Pf及Pf满足s()Yc()Ys()⎧B⎪Pf()+f+−P(ff)f≤Pf()==P()fYcYcYYcs⎨2⎩⎪0else其中⎧2BN022⎪2Nf0()πf±fc≤PfY()==H()fj2πf⎨22⎩⎪0else因此Pf()=P()fYYcs⎧22B⎪22Nfππ22()+f+−N(ff)f≤=⎨00cc2⎩⎪0else⎧222B⎪4Nf0π()+≤fcf=⎨2⎩⎪0else其图形如下Pf=PfYYcs()()2Nf0()2πcfBB−22TTN4．设ξϕ=nt()(t)dt，ξ=nt()ϕ(t)dt，其中nt()是双边功率谱密度为0白11∫02∫012高斯噪声，ϕ1(t)和ϕ2(t)为确定函数，求ξ1和ξ2统计独立的条件。解：nt()是白噪声意味着En⎣⎦⎡⎤()t=0，否则其功率谱密度将在f=0处有冲激。所以TTE[]ξϕ===E⎡⎤n()t()tdtE⎡⎤n()tϕ()tdt011⎣⎦⎢⎥∫∫00⎣⎦13/15《通信原理习题选》TTE[]ξϕ===E⎡⎤nt()()tdtE⎡⎤nt()ϕ()tdt022⎣⎦⎢⎥∫∫00⎣⎦2又因为nt()是高斯过程，所以ξ1,ξ2是服从联合高斯分布的随机变量，故欲ξ1和ξ2统计独立，需E[ξξ12]=0。⎡⎤TTEEξξ=ntϕtdtntϕtdt[]12⎢⎥∫∫()1()()2()⎣⎦00TT=En⎡()tn(t′)ϕϕ()t