第九章信道编码9.1求下列二元码字之间的汉明距离：（1）0000，0101（2）01110，11100（3）010101，101001（4）1110111，1101011解：根据汉明距离的定义可得知上述4种情况下的汉明距依次为2、2、4、3。9.2某码字的集合为00000001000111010101100111011101100101101001101101110001试求：（1）该码字集合的最小汉明距离；（2）根据最小汉明距离确定其检错和纠错能力。解一：2（1）通过两两比较（共有C8=28种组合）这8个码字可得最小汉明距离为4。（2）由t+1=4，得该码可以保证检3位错；由2t+1=4，得该码可以保证纠1位错。解二：(1)就本题的具体情况，可以验证这8个码字构成了线性码。事实上，令c1=1000111、c2=0101011、c3=0011101，则c1、c2、c3线性无关，而1101100=c1+c2，1011010==c1+c3，0110110==c2+c3，1110001==c1+c2+c3。再由线性码的最小码距是非0码的最小码重的性质得知这8个码字之间的最小汉明距离为4。(2)同解一注：由最小码距dmin所确定的纠错或检错能力是保证的纠错或检错能力，不表示其它的错误图样不能被纠正或者检出。特别在检错的情形下，由dmin所确定的检错能力往往过于保守。以本题为例，这个码实际可以检出一切的1、2、3、5、6、7比特错，在4比特错中，可以检出28种错，即所有4比特错误图案中除去和许用码字相同的那些。9.3假设二进制对称信道的差错率P=10−2。（1）(5,1)重复码通过此信道传输，不可纠正的错误出现的概率是多少？（2）(4,3)偶校验码通过此信道传输，不可检出错误的出现概率是多少？解：(1)(5,1)重复码中发生3个或者更多错误时不可纠正，因此不可纠正错误的出现概率为332441550−6PC15=−P(1P)+C5P(1−P)+C5P(1−P)≈9.85×10(2)(4,3)偶校验码中发生偶数个错时不可检出，这样的概率是222440−4PC24=−P(1P)+C4P(1−P)≈5.88×10。9.4等重码的所有码字都具有相同的汉明重量，请问这样的等重码是否是线性码吗？请说明理由。答：因为该码的所有码字都有相同数目的“1”，因此它不包括全0码字，但线性码必然包含全0码字，所以该码不是线性码。9.5若已知一个（7，4）码生成矩阵为⎛1000111⎞⎜⎟⎜0100101⎟G=⎜0010011⎟⎜⎟⎜⎟⎝0001110⎠请生成下列信息组的码字：（1）（0100）（2）（0101）（3）（1110）（4）（1001）。解：cu=G，将以上信息带入公式，得到码字分别为：（1）0100101（2）0101011（3）1110001（4）10010019.6已知一个系统（7，4）汉明码监督矩阵如下：⎛1110100⎞⎜⎟H=⎜0111010⎟⎜⎟⎝1101001⎠试求：（1）生成矩阵G；（2）当输入信息序列m=（110101101010）时求输出码序列c=？解：①由H阵求出G阵：⎛1000101⎞⎜⎟⎜0100111⎟G=⎜0010110⎟⎜⎟⎜⎟⎝0001011⎠②首先将m分组，四位码一组，不足的用0补，得m1=1101，m2=0110，m3=1010，则Ci=mi⋅G⎛1000101⎞⎜⎟⎜0100111⎟∴C=(1101)=(1101001)1⎜0010110⎟⎜⎟⎜⎟⎝0001011⎠C=m⋅G=(0110001)22C3=m3⋅G=(1010011)9.7试将下列生成矩阵⎛0001011⎞⎜⎟⎜0010110⎟G=⎜0101100⎟⎜⎟⎜⎟⎝1011000⎠（1）化为系统码的生成矩阵G=(IMQ)形式；（2）写出典型监督矩阵。解：（1）利用G的初等行变换来完成相应的变换①1行←→4行，2行←→3行，得：⎛1011000⎞⎜⎟⎜0101100⎟G′=⎜0010110⎟⎜⎟⎜⎟⎝0001011⎠②2行+4行，1行+3行+4行，得：⎛1000101⎞⎜⎟⎜0100111⎟G′′=⎜0010110⎟⎜⎟⎜⎟⎝0001011⎠故G′′就是所求的系统码生成阵。（2）典型监督矩阵为⎛1110100⎞⎜⎟H=⎜0111010⎟⎜⎟⎝1101001⎠9.8已知某线性分组码生成矩阵为⎛0011101⎞⎜⎟G=⎜0100111⎟⎜⎟⎝1001110⎠试求