习题课——导数的综合应用1.若不等式-x3+2x+ax>0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是()A.a>-1B.a<-1C.a<4D.a>4解析:依题意不等式x3-2x-a<0在[1,2]上恒成立,即a>x3-2x,令g(x)=x3-2x,则g'(x)=3x2-2>0在[1,2]上恒成立,因此[g(x)]max=g(2)=4,故a>4.答案:D2.已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c=()A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1解析:y'=3x2-3,所以当y'=0时,x=±1.则x,y',y的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y'+0-0+y↗c+2↘c-2↗因此,当函数图像与x轴恰有两个公共点时,必有c+2=0或c-2=0,所以c=-2或c=2.故选A.答案:A3.方程x-lnx-2=0的根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:令f(x)=x-lnx-2,则由f'(x)=12x-1x=0,得x=4.当0<x<4时,f'(x)<0;当x>4时,f'(x)>0.∴x=4是f(x)的唯一极小值点,且f(4)<0.又f(e-2)>0,f(e4)=e2-6>0,∴f(x)在(e-2,4),(4,e4)上各有一个零点,∴对应的方程有2个根.故选C.答案:C4.若不等式ax2≥lnx恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≥12eB.a>12eC.a<12eD.a≤12e解析:由ax2≥lnx得a≥lnxx2,令g(x)=lnxx2,则g'(x)=1-2lnxx3,由g'(x)=0得x=e,且g(x)在(0,e)上是增加的,在(e,+∞)上是减少的,于是g(x)在x=e处取得极大值即最大值g(e)=12e,因此要使a≥lnxx2成立,应有a≥12e.答案:A5.已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f'(x)+f(x)x>0,则函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为()A.1B.2C.0D.0或2解析:因为函数y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f'(x)+f(x)x>0,即xf'(x)+f(x)x>0.令h(x)=xf(x),即h'(x)x>0.所以可得h'(x)>0x>0或h'(x)<0,x<0.所以函数h(x)在x>0时是增加的,所以h(x)>h(0)=0.即当x>0时,h(x)>0.同理当x<0时,h(x)>0.又因为函数g(x)=f(x)+1x可化为g(x)=xf(x)+1x,所以当x>0时,g(x)>0,即与x轴没交点.当x<0时,g(x)<0.所以函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为0.故选C.答案:C6.函数f(x)=x3-12x+3,g(x)=3x-m,若∀x1∈[-1,5],∃x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),则实数m的最小值是.解析:由题意f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),则f(x)在[-1,2]上是减少的,在[2,5]上是增加的,所以x∈[-1,5]时,f(x)min=f(2)=8-24+3=-13.又g(x)=3x-m在[0,2]上是增加的,所以x∈[0,2]时,g(x)min=g(0)=1-m,所以-13≥1-m,得m≥14,故mmin=14.答案:147.函数y=lnx+x2的图像与函数y=3x-b的图像有3个不同的交点,则实数b的取值范围是.解析:依题意方程lnx+x2-3x+b=0有3个实数根,即b=-lnx-x2+3x,令f(x)=-lnx-x2+3x,则f'(x)=-1x-2x+3=-2x2+3x-1x=-(2x-1)(x-1)x,因此f(x)在x=12取得极小值f12=54+ln2,在x=1取得极大值f(1)=2,故实数b的取值范围是54+ln2,2.答案:54+ln2,28.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是.解析:∵f'(x)=ex-2,令f'(x)=0,解得x=ln2,∴当x∈(-∞,ln2)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(-∞,ln2)上是减少的;当x∈(ln2,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(ln2,+∞)上是增加的,∴当x=ln2时,f(x)=ex-2x+a取得最小值,为eln2-2ln2+a=2-2ln2+a.由题意,得2-2ln2+a≤0,解得a≤2ln2-2.答案:a≤2ln2-29.导学号01844051已知函数f(x)=lnx.(1)若函数h(x)=f(x)+12x2-ax在点(1,h(1))处的切线与直线4x-y+1=0平行,求实数a的值;(2)对任意的a∈[-1,0),若不等式f(x)<12ax2+