韦达定理1.基础公式：b(1)x+x=-12ac(2)x∙x=12a2.拓展公式：(1)x2+x2=(x+x)2-2xx12121211x+x(2)+=12xxxx1212x2+x2xx(x+x)2-2xx(3)2+1==1212xxx1x2xx121212(4)x3+x3=(x+x)(x2-xx+x2)=(x+x)(x+x)2-3xx12121212121212(5)(x-x)2=(x+x)2-4xx121212(6)x-x=(x+x)2-4xx121212(7)(x+k)(x+k)=xx+k(x+x)+k2121212x2+x211(x+x)2-2xx1212(8)+=12=x2x2(xx)2(xx)2121212题型训练1已知关于x的一元二次方程kx2+x-3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x，x，且满足x+x2+x∙x=4，求k的值．121212【答案】解：(1)根据题意得k≠0且Δ=12-4k×-3>0，1解得k>-且k≠0；1213(2)根据题意得x+x=-，x∙x=-，12k12k∵x+x2+xx=4，121213∴-2-=4，kk1整理得4k2+3k-1=0，解得k=，k=-1，1421∵k>-且k≠0，121∴k=．412已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x，x，若x2+x2=8-3xx，求m的值．121212【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0，1解得：m≤.2(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x，x，12∴x+x=2m-2，x∙x=m21212∵x2+x2=8-3xx1212∴x+x2-2xx=8-3xx，即5m2-8m-4=0，1212122解得：m=-，m=2(舍去)，1522∴实数m的值为-.53已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1b-1=39，求m的值；(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：(1)∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根，∴a+b=2m+1，ab=m2+5，∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39，解得m=-5或m=7，当m=-5时，原方程无解，故舍去，∴m=7．(2)①当7为底边时，此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴Δ=4m+12-4m2+5=0，解得m=2，∴方程变为x2-6x+9=0，解得a=b=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形．②当7为腰时，设a=7，代入方程得：49-14m+1+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时，方程变为x2-22x+105=0，解得x=7或15，∴b=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当m=4时，方程变为x2-10x+21=0，解得x=3或7，∴b=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.2bc4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x，x，那么x+x=-，x∙x=．借1212a12a助该材料完成下列各题：(1)若x，x是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x+x=，x∙x=．12121211(2)若x，x是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x2+x2=，+=．1212xx12(3)若x，x是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x2+x2=13，求m的值．1212【答案】解：(1)∵x，x是方程x2-4x+5=0的两个实数根，12-45∴x+x=-=4，x∙x==5.121121(2)∵x，x是方程x2+6x-3=0的两个实数根，12∴x+x=-6，x∙x=-3，1212∴x2+x2=x+x2-2xx=-62-2×-3=42，12121211x+x6+=12=-=2．xxx∙x-31212(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根，∴Δ=m-32-4