基础知识自主学习基础知识自主学习分类原则3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()答案3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝.题组三易错自纠4.已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为__________.5.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是.6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝.题型分类深度剖析解析解析由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理.(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法.典例(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，则其通项公式为.答案已知Sn，求an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.跟踪训练(1)(2019·河南八校一联)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝.(2)(2019·河北衡水中学押题卷)已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为A.－454B.－450C.－446D.－442解析由题意可得an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N＋)，典例根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.跟踪训练(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝.(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝.命题点1数列的单调性典例已知an＝，那么数列{an}是A.递减数列B.递增数列C.常数列D.不确定命题点2数列的周期性典例数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝.∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.命题点3数列的最值(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断.③结合相应函数的图像直观判断.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.答案∴{an}为周期数列且T＝4，答案典例(1)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·则此数列的最大项是第项.(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是.当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项.(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又∵通项公式an＝n2＋kn＋4，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n，又n∈N＋，