SKIPIF1<0模块五平面向量【知识网络】5．1平面向量的基本运算、坐标运算【考点透视】一、考纲指要1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2．掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则。掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算。3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5．掌握平面两点间的距离公式。二、命题落点1．考查向量的概念，向量加、减法几何运算及坐标运算。几何运算中要注意理解三角形法则，平行四边形法则；当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行。如例1和例2．2．向量的线性运算是向量运算中的基本内容，也是考查中的重点内容，尤其是对向量共线的充要条件，及平面向量基本定理的考查。如例2、例3．3．两个向量共线，或者三点共线问题。A、B、C三点共线的充要条件：存在实数λ，使得SKIPIF1<0=λSKIPIF1<0。如例2和例4．4．在许多解析几何、平面几何问题中，用向量来解决显得格外简捷，作为一种工具，要达到得心应手、随心所欲的程度，关键应夯实基础。解析几何解答题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性，是高考命题的主流方向。如例5．【典例精析】例1：（2003·全国）O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的3个点，动点P满足SKIPIF1<0,则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：本题考查向量的概念，向量加、减法运算的几何意义．已知式可化为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则得SKIPIF1<0，∴P的轨迹是∠BAC的平分线，所以P点通过△ABC的内心．答案：B例2：（2002·天津文）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足SKIPIF1<0，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（）A．3x+2y－11=0B．（x－1）2+（y－2）2=5C．2x－y=0D．x+2y－5=0解析：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法．设SKIPIF1<0=（x，y），SKIPIF1<0=（3，1），SKIPIF1<0=（－1，3），αSKIPIF1<0=（3α，α），βSKIPIF1<0=（－β，3β）．又αSKIPIF1<0+βSKIPIF1<0=（3α－β，α+3β），∴（x，y）=（3α－β，α+3β），∴SKIPIF1<0，又α+β=1，因此可得x+2y=5．答案：D．例3：（1997·全国）过原点O的直线与函数SKIPIF1<0图象交于A、B两点，过A、B分别作SKIPIF1<0轴的垂线交函数SKIPIF1<0的图像于C、D两点，求证：O、C、D三点共线．解析：利用向量共线证明．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，∴SKIPIF1<0，又由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共线，∴O、C、D三点共线．利用向量证明三点共线，或者证明两条线段平行须分两步完成：①证明两个向量平行；②说明两个向量有公共点．【常见误区】1．正确处理几个问题：（1）正确区分向量eq\o(\s\up7(→),\s\do1(a))与实数a、eq\o(\s\up7(→),\s\do1(0))与0．（2）正确区分向量运算与实数运算．2．向量运算，要注意向量的方向不能搞错。如三角形中两边对应向量已知，求第三边所对应的向量时，利用向量加减法的三角形法则实施求解，一定要注意向量的方向．3．平面向量的运算表现在两个方面，向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题．只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应选用哪一种运算要根据实际情况来定。在坐标运算中，合理地选择坐标系有利于优化解题过程．【基础演练】1．（2006·全国）已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0