课时跟踪练(二十五)A组基础巩固1．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A.eq\r(6)kmB.eq\r(2)kmC.eq\r(3)kmD．2km解析：如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(2,sin45°)，所以AC＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)(km)．答案：A2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．答案：D3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里D．20eq\r(2)海里解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．答案：A4.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5eq\r(6)B．15eq\r(3)C．5eq\r(2)D．15eq\r(6)解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).答案：D5．(2019·广州模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(eq\r(3)＋1)mB．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)m解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D.由题意，得DC＝60×tan60°＝60eq\r(3)(m)，DB＝60×tan15°＝60×tan(45°－30°)＝60×eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＝60×eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝120－60eq\r(3)(m)．所以BC＝DC－DB＝60eq\r(3)－(120－60eq\r(3))＝120eq\r(3)－120＝120(eq\r(3)－1)(m)．答案：C6．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：由题意画示意图，如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案：10eq\r(3)7.(2019·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.解析：设坡底需加长xm，由正弦定理得eq\f(100,sin30°)＝eq\f(x,sin45°)，解得x＝100eq\r(2).答案：100eq\r(2)8.(2019·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角