【状元之路】2016届高考数学理一轮总复习第8章解析几何练习4（含解析）新人教A版1．[2014·福建]直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB的面积S△OAB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以“k＝1”⇒“△OAB的面积为eq\f(1,2)”；若△OAB的面积为eq\f(1,2)，则k＝±1，所以“△OAB的面积为eq\f(1,2)”⇒/“k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的充分而不必要条件，故选A.答案：A2．[2014·江西]在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.eq\f(4,5)πB.eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))πD.eq\f(5,4)π解析：方法一设A(a,0)，B(0，b)，圆C的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，2r＝eq\r(a2＋b2)，由题知圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＝eq\f(|a＋\f(b,2)－4|,\r(5))＝r，即|2a＋b－8|＝2eq\r(5)r,2a＋b＝8±2eq\r(5)r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2eq\r(5)r≤2eq\r(5)r⇒r≥eq\f(2,\r(5))，即圆C的面积S＝πr2≥eq\f(4,5)π.方法二由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝eq\f(4,\r(5))，得r＝eq\f(2,\r(5))，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝eq\f(4,5)π.答案：A3．[2014·陕西]若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为__________．解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝14．[2014·重庆]已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝__________.解析：依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，于是有eq\f(|1·a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\r(3)，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)5．[2014·课标全国Ⅱ]设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是__________．解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]