线性控制系统的计算机辅助分析控制系统的数学描述与建模在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：系统的外部模型微分方程模型传递函数模型零极点增益模型部分分式模型系统的内部模型状态方程模型,系统仿真中常常使用此类模型这些模型之间有内在的联系，可以相互进行转换。线性定常连续系统的微分方程模型线性定常连续系统的微分方程模型控制系统的数学模型线性部件的微分方程线性定常连续系统的微分方程模型常见函数L变换微分方程一般形式：传递函数描述二、零极点增益模型零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。K为系统增益，zi为零点，pj为极点在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即：z=[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,pn]K=[K]函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。三、部分分式展开控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。若分子多项式阶次与分母多项式相等，k为标量，若小于，该项不存在。[b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。举例传递函数描述1）》num=[12,24,0,20];den=[24622];2）借助多项式乘法函数conv来处理：》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));2.零极点增益模型》num=[1,11,30,0];》den=[1,9,45,87,50];》[z,p,k]=tf2zp(num,den)结果表达式：3.部分分式展开》num=[2,0,9,1];》den=[1,1,4,4];》[r,p,k]=residue(num,den)结果表达式：内部模型2、建立在状态空间描述基础上的现代控制理论，其数学基础是线性代数和矩阵理论。（60年代－现在）现代控制理论一般采用内部描述。内部描述是基于系统内部分析的一类数学模型，它不仅考虑系统的外部变量（输入、输出），还要考虑系统的内部变量（状态变量）。它需要有2个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。状态空间描述的概念一阶微分方程表示形式：向量矩阵表示形式：在向量矩阵表示形式中，如果令，则其变为再令则可写为：1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确定了。2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向量为：3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如，前例中，若取为输出，则有写出矩阵形式：若指定i为输出，则若指定均为输出，则二、状态空间表达式：系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式，或称状态空间描述。对于前例，其状态空间描述为：一般，多输入多输出系统的状态空间表达式为：其中：m维输出向量状态空间描述状态空间描述模型的转换模型的转换模型的转换3）系统的零极点增益模型：z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;[num,den]=zp2tf(z,p,k)》num=00618den=181710[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)》a=-1.000000b=12.0000-7.0000-3.1623103.162300c=001.8974d=0注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。4）已知部分分式：