任一个n阶实对称矩阵与对角阵相似证明（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）定理3对于任一个n阶实对称矩阵,都存在正交矩阵,使得，其中是的n个特征值。证对n用数学归纳法。当n=1,结论显然成立。假设当时结论成立,下面证明对阶实对称矩阵也成立。设是的一个特征值,是属于的实单位特征向量,则:,根据第三章正交化过程可知,必能找到个维实单位向量(未必是特征向量),使为两两正交的单位向量组,令=(),则为正交矩阵,且==因为()记所以,因为是k-1阶实对称矩阵,所以由归纳法假设,存在k-1阶正交矩阵,使得。令显然,为正交矩阵,且===。令,因为为正交矩阵,故为正交矩阵,且由归纳法,定理成立。返课件HYPERLINK"xdch5-3.ppt"\l"8"xdch5-3.ppt-8矩阵的相似对角化一、填空题1.若。2.设矩阵，则A的全部特征值为。3.若λ=3是可逆方阵A的一个特征值，则A-1必有一个特征值为______。4.设,分别属于方阵A的不同特征值λ1,λ2的特征向量，则与必线性_____。5.设A为实对称矩阵，=(-1,1,1)T，=(3,-1,a)分别是属于A的相异特征值λ1与λ2的特征向量，则a=_____。6.设三阶方阵A的特征值为1，-1，-1，且B=A2，则B的特征值为_____。7.设A为4阶方阵，A的4个特征值为-2，-1，1，2。则。8.若阶矩阵A有一特征值为2，则。9.设矩阵A=与B=相似，则y=_______。10.设矩阵A=，则与其相似的对角矩阵有________。二、选择题1.已知（）A．1或2B．-1或-2C．1或-2D．-1或2若（）A．它们的特征矩阵相似B．它们具有相同的特征向量C．它们具有相同的特征矩阵D．存在可逆矩阵2.设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是（）A．Ax=2xB．A-1x=xC．A-1x=2xD．A2x=4x3.设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（）A．0B．1C．2D．3三、计算题1.已知矩阵（1）求；（2）。2.设3阶方阵A的三个特征值为，A的属于的特征向量依次为，求方阵A。3.设三阶方阵A的特征值为1，2，-2，又B=3A2-A3,说明B能否对角化?若能对角化，试求与B相似的对角阵。4.求矩阵A=的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由。学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导老师：AGraduationThesis(Project)SubmittedtoSchoolofScience,HubeiUniversityforNationalitiesInPartialFulfillmentoftheRequiringforBSDegreeIntheYearof2021DiagonalizationoftheMatrixanditsApplicationsStudentNameStudentNo.:Specialty:Supervisor:DateofThesisDefense:DateofBookbinding:摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式IAbstractThematrixisanimportanttoolincollegemathematics,andcansimplifythedescriptionlanguagebasedontheapplicationofmatrixinmanyways.Soitiseasiertounderstandinmanyfields,forexample,linearequations,quadraticequations.Inmanycharacteristics,thematrixsimilarityisanveryimportantaspect.Wek