第24卷第3期高等函授学报(自然科学版)Vol.24No.32011年6月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2011#大学教学#微分法在证明不等式中的应用张盈(延安大学西安创新学院,陕西西安710100)摘要:不等式的证明方法灵活多样,本文以微分学中的一些理论来综述不等式证明的若干方法,并通过范例加以说明。关键词:不等式;单调性;中值定理;Taylor公式;凸性中图分类号:O172文献标识码:A文章编号:1006-7353(2011)03-0052-03下面举例说明利用上述理论证明不等式。1利用函数单调性证明不等式例1证明当x>1时,有ln2(x+1)>lnx定理1(一阶导数与单调性的关系)[1]设函#ln(x+2)数f(x)在区间I上单调增加(减少)的充分必要分析只要把要证的不等式变形为条件是:对于任意xII有fc(x)\0(fc(x)[0)ln(x+1)>ln(x+2),然后把x相对固定看作lnxln(x+1)将上述定理进行推广得:ln(x+1)常数。并选取辅助函数f(x)=,则只要定理2设f(x),g(x)在[a,b]上n阶可导且lnx满足下述条件:证明f(x)在(1,])是单调函数即可。(k)(k)(1)f(a)=g(a),k=0,1,2,,,n-1;ln(x+1)证明作辅助函数f(x)=,(x>(2)f(n)(x)>g(n)(x)(或f(n)(x)<lnxg(n)(x));1),于是有,则在(a,b)内有f(x)>g(x)(或f(x)<lnx-ln(x+1)x+1xg(x))fc(x)=2lnx上述定理可将不等式的证明转f(x)>g(x)xlnx-(x+1)ln(x+1)(n)(n)=2化为f(x)>g(x)的证明。x(x+1)lnx欲证明当x>a或在区间a,b上,有函数不因为1<x<x+1,故0<lnx<ln(x+1),等式f(x)>g(x)(这里假设所给函数是可导所以xlnx-(x+1)ln(x+1)<0,因而在(1,])的),除了利用定理2证明外,其解题思路还可按内恒有fc(x)<0,所以在区间(1,])内f(x)严如下方法进行:作辅助函数F(x)=f(x)-格递减.又因为1<x<x+1,可知f(x)>f(xg(x),由下述定理来证明。+1),即ln(x+1)>ln(x+2),所以ln2(x+1)定理3设F(x)定义在[a,b]上连续,在lnxln(x+1)a,b上n阶可导,若>lnx#ln(x+2)(n-1)例2明:tanx>x+1x3,xI(0,P)F(a)=Fc(a)=,=F(a)=c>0,32F(n)(x)>0,xI(a,b)证明设f(x)=tanx,g(x)=x+1x3,则F(x)>c,xI(a,b)3收稿日期:2011-03-29.作者简介:张盈(1977-),女,陕西省商洛县人,理学硕士,助教,研究方向:非线性偏微分方程,对称理论和可积系统.52第24卷第3期高等函授学报(自然科学版)Vol.24No.32011年6月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2011则f(0)=g(0)=0.fc(x)=sec2x,gc(x)=1++(1+b)ln(1+b)<(1+a+b)ln(1+a+b)。x2,fc(0)=gc(0)=0;fd(x)=2sec2xtanx,分析欲证的不等式可改写为(1+a)ln(1+gd(x)=2x,fd(0)=gd(0)=0;a)<(1+a+b)ln(1+a+b)-(1+b)ln(1+b),fÊ(x)=2(1+tan2x)(1+3tan2x);gÊ(x)=并注意到(1+x)ln(1+x)是单调增函数,应在2.显然有fÊ(x)>gd(x),由定理112得,tanx>b,a+b上用拉格朗日中值定理。证明对函数F(x)=(1+x)ln(1+x)在x+1x3,xI(0,P)32区间b,a+b上应用拉格朗日中值定理,有2例3证明不等式:ex>1+x+x(x>0)。(1+a+b)ln(1+a+b)-(1+b)ln(1+b)2=[1+ln(1+N)]a,(b<N<a+b)2xx证明设F(x)=e-1-x-,x>0,则对a>0有a>ln(1+a)及ln(1+a)<ln(12xxx+N),由上式得Fc(x)=e-1-x,Fd(x)=e-1,FÊ(x)=e(1+a+b)ln(1+a+b)-(1+b)ln(1+b)>0,且F(0)=Fc(0)=Fd(0)=0,由定理1132>ln(1+a)+aln