东北大学秦皇岛分校学号课程名称：微积分试卷：（A）答案考试形式：闭卷试卷：总分授课专业：行政管理、外语系考试日期：2008年6月23日(A)limun=0n→∞(B)limun=0，且un+1≤un,n=1,2,3,Ln→∞(C)limun+1=ρ<1n→∞un3(D)部分和数列有界3、二元函数f(x,y)=y?x+6x?12y+5有（B）个驻点。2级题号得分阅卷人一二三(A)1(B)2(C)31?x0(D)4）1?x4、改变积分次序∫dx∫01f(x,y)dy=（A(B)(D)(A)(C)∫dy∫01011?y01f(x,y)dx∫dy∫0101f(x,y)dx名装一、填空题：（每空4分，共24分）xdxt1、∫0ecostdt=ecosxdx2、比较大小∫dy∫f(x,y)dx0∫1?x0dy∫f(x,y)dx05、微分方程xy′′+y′=0的通解是（A）订∫10xdx>∫10x2dx.(A)(C)装订线内不要答题线3、判断敛散性4、z=2∑n=1∞1是收敛（收敛，发散）n(n+1)2alnx+ba+bx(B)(D)alnxa（a,b为常数）x4?x?y的定义域(x,y)x+y≤422xy{}三、计算题（8小题，共56分）1、分）计算（6∫ln51ex?1ln2dx的值5、设z=e，则dz=yexydx+xexydy16、微分方程y′=cos3x的通解为sin3x+c3解：设e?1=tx则x=ln1+t22()21二、选择题：（每题4分，共20分）1、下列定积分等于零的是（C）。A.C.∫ln51e?1xln2dx=∫1212t1?dt=2∫dt=2arctant211+t2t1+tx=2arctan2?π2∫∫1?11xcosxdxsinxdx2B.D.∫1?11xsinxdx(ex+x)dx∫2、分）求极限lim（5x→00sint2dtx3?1∫?1∫解：limx→0x0sint2dtx3=2、正项级数∑ui=1∞sinx21=3x23n收敛的充分必要条件是(D)3、（10分）设由曲线y=4?x2(x≥0)与直线x=1、x轴、y轴所围成的平面图形（1）求所-1-围平面图形的面积；（2）求将所围平面图形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积。?x3?11解：（1）S=∫(4?x)dx=?4x??=03?03?121?2z=2?x2uv?2z=2?y2?2z=?5?x?y?z?z，。?x?y6、分）设z=e，u=x?2y，v=xy，求（614?83x5?8(2)V=π∫(4?x)dx=π∫(16?8x+x)dx=π?16x?x+?=13π0035?015?12212解：?z?z?u?z?v=+=veuv?1+ueuv?y=euv(2xy?2y2)?x?u?x?v?x?z?z?u?z?v=+=veuv?(?2)+ueuv?x=euv(?2v+ux)?y?u?y?v?y4、（10分）求幂级数∑(?1)x2n?1n=1∞n?12n?1同理的收敛域及和函数7、分）计算（6∫∫5x+3ydxdyD1x0x2，其中D是由曲线y=x2与y=x围成的平面区域。1un+1(x)x2n+12n?1解：因为lim=lim?=x2n→∞u(x)n→∞2n+1x2n?1n令x<1解得?1<x<12解：3?∫∫5x+3ydxdy=∫dx∫(5x+3y)dy=∫?5xy+2y?02D???xx2dx当x=±1时，原级数为交错级数，根据牛顿莱布尼兹定理，收敛级数收敛域为[?1,+1]1?133?53?37?13=∫?x2?5x3?x4?dx=?x3?x4?x5?1=002?410?60?2?6S(x)=∑(?1)n?1x2n?12n?1n=1∞8、分）求微分方程y′+（7解一：利用公式法1?2xy=1的通解。x2两边求导，得y=e?∫1?2xx2dx′∞?∞(?1)n?1x2n?1??(?1)n?1x2n?1?′∞1n?12(n?1)S′(x)