学习导航学习目标重点难点重点:求函数的极值.难点:函数在某点取得极值的充要条件的理解.探究.如图，函数y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？2.极大值点与极大值如图,函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0;而且在点x＝b附近的左侧______,右侧______,则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值._________、_________统称为极值点,_______和________统称为极值.想一想1.函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？提示:不一定;不一定唯一.2.导数为0的点都是极值点吗？提示:不一定.如f(x)＝x3,由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0,但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.【解】(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R,且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0,得x1＝－1,x2＝3.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:【名师点评】求函数极值的方法:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)＝0的全部实根;(3)列表,检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右的值的符号;(4)判断单调性,确定极值.变式训练因此当x＝－2时,y取得极大值－8;当x＝2时,y取得极小值8.【名师点评】已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点:(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.题型三与函数极值有关的综合问题已知a为实数,函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值,并画出其图象(草图);(2)当a为何值时,方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【思路点拨】函数f(x)的导数f′(x)——求极值、画图象需运用导数求解.【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a,得f′(x)＝－3x2＋3,令f′(x)＝0,得x＝－1或x＝1.1分当x∈(－∞,－1)时,f′(x)<0;当x∈(－1,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,＋∞)时,f′(x)<0.2分所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2;极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象,如图所示.这里,极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象,当极大值a＋2＝0时,有极小值小于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)＝0恰有两个实数根,所以a＝－2满足条件;9分当极小值a－2＝0时,有极大值大于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)＝0恰好有两个实数根,所以a＝2满足条件.综上,当a＝±2时,方程恰有两个实数根.12分【名师点评】研究方程根的问题可以转化为研究相应函数图象的问题,一般地,方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标.互动探究2.本例条件不变,求当a在什么范围内取值时,曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？解:函数f(x)的大致图象如图所示:当函数f(x)的极大值a＋2<0或极小值a－2>0时,曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点,所以所求实数a的范围是a<－2或a>2.由上表可以看出:当x＝－1时,函数有极小值,并且极小值为f(－1)＝－3;当x＝1时,函数有极大值,并且极大值为f(1)＝－1.2.当a为何值时,方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根？两个不等实根？三个不等实根？有没有可能无实根？解:令f(x)＝x3－3x2,则f(x)的定义域为R,由f′(x)＝3x2－6x＝0,得x＝0或x＝2,所以当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0.函数f(x)在x＝0处有极大值0,在x＝2处有极小值－4,如图所示,故当a>0或a<－4时,原方程有一个根;当a＝0或a＝－4时,原方程有两个不等实根;当－4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.方法技巧(1)极值是一个局部概念:极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.(2)函数的极值不一定是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止