第八次习题课第二、三章总结一、一维随机变量及其分布函数1、r.v.(ω)是定义在可测空间(Ω,F)上的一个取实值的可测函数。2、r.v.的为，其具有单调不降，处处左连续，等性质，反之亦然。3、若为离散型，概率分布：a1a2……Pp­1p2……分布函数要求能正确写出一个离散型随机变量的概率分布及分布函数，常见的离散型分布：二项、泊松、几何、超几何分布。4、为连续型：。常见的连续型分布；均匀、正态、指数、分布等。二、二维随机向量的联合分布及边际分布。~，称为联合分布函数，具有性质1、2、3、4称为联合分布的边际分布。1、当为离散型时。联合概率分布：对于任意BB2边际概率分布：重要的二维离散型分布：三项分布，其边际分布是二项分布。例2：相互独立，分别服从参数为1的指数分布，求（2）是非负定的。例2：相互独立，分别服从参数为1的指数分布，求a1a2……从而,（2）是非负定的。表示1点和6点出现的次数，求的相关系数。且。独立性概念可平行推广到任意n个随机变量的情形。故~令则Pp­1p2……4、为连续型：。二元正态分布——边际分布为一元正态重要的二维连续型分布：均匀分布。三、随机变量的独立性相互独立引理，若相互独立，则亦独立（逆不真）。独立性概念可平行推广到任意n个随机变量的情形。四、（一维或二维）随机变量函数的分布。1、离散型情形，见书P76—P78。a1a2……pp1­p2……pp­1,p2,……2、连续型情形：求（一维或二维）随机变量函数的分布有二法。（1）基本方法，按分布函数定义求随机变量函数的分布函数。（2）利用公式：书P129定理及补充的，定理和的分布、商的分布公式等。掌握，-分布，F-分布，t-分布的构造性定义。五、随机变量（一维或多维）的数字特征。1、重要而广泛的数字特征：矩——原点矩、中心矩。K阶原点矩：K阶中心矩：：性质：高阶矩存在则低阶矩一定存在。2、随机变量重要的数字特征是一阶原点矩（数字期望），二阶中心矩（方差、协方差）及相关系数，要掌握其计算法各表示随机变量的什么特征，各具有什么基本性质。（5），此条可推广到任意n故~4、为连续型：。重要的二维离散型分布：三项分布，其边际分布是二项分布。例2：相互独立，分别服从参数为1的指数分布，求五、随机变量（一维或多维）的数字特征。均匀、正态、指数、分布等。例2：相互独立，分别服从参数为1的指数分布，求Pp­1p2……则独立，同服从分布:均匀、正态、指数、分布等。2、随机变量重要的数字特征是一阶原点矩（数字期望），二阶中心矩（方差、协方差）及相关系数，要掌握其计算法各表示随机变量的什么特征，各具有什么基本性质。3、反演公式及唯一性定理说明：，记住单点分布，二项分布，泊松分布，正态分布的特征函数例1：将一颗均匀的骰子独立重复地投掷n次，分别以表示1点和6点出现的次数，求的相关系数。解：令K=1,2,……，n则独立，同服从分布:令则独立，同服从分布。且。得,由其中：故从而,因此例2：相互独立，分别服从参数为1的指数分布，求的分布密度。解：由已知故~因，由于的可能取值为正实数，故：当，当当0<z<1时，令则得因此即~U（0，1）