课时跟踪检测(四)绝对值三角不等式1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，A不正确，显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确，D显然不正确．2．不等式eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)<1成立的充要条件是()A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选B原不等式即为|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<0.3．已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有()A．|a|>|b|>|c|B．|ab|>|bc|C．|a＋b|>|b＋c|D．|a－c|>|a－b|解析：选D∵a，b，c∈R，且a>b>c，令a＝2，b＝1，c＝－6.∴|a|＝2，|b|＝1，|c|＝6，|b|<|a|<|c|，故排除A.又|ab|＝2，|bc|＝6，|ab|<|bc|，故排除B.又|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，|a＋b|<|b＋c|，排除C.而|a－c|＝|2－(－6)|＝8，|a－b|＝1，∴|a－c|>|a－b|.4．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|>2B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不可能比较大小解析：选B当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.5．(陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：[－2,4]6．设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．解析：∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|(a－x)＋(x－b)|＝|a－b|＞2，∴|x－a|＋|x－b|＞2对x∈R恒成立，故解集为(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)7．下列四个不等式：①logx10＋lgx≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1.其中恒成立的是______(把你认为正确的序号都填上)．解析：logx10＋lgx＝eq\f(1,lgx)＋lgx≥2，①正确；ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；∵ab≠0时，eq\f(b,a)与eq\f(a,b)同号，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))≥2，③正确；由|x－1|＋|x－2|的几何意义知|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确．综上可知①③④正确．答案：①③④8．已知x，y∈R，且|x＋y|≤eq\f(1,6)，|x－y|≤eq\f(1,4)，求证：|x＋5y|≤1.证明：|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,4)＝1，即|x＋5y|≤1.9．设f(x)＝x2－x＋b，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：∵f(x)－f(a)＝x2－x－a2＋a＝(x－a)(x＋a－1)，|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1<2|a|＋2＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．10．设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求：(1)y的最小值；(2)使y<a有解的a的取值范围；(3)使y≥a恒成立的a的最大值．解：(1)y＝|x－