课时跟踪检测(四)相似三角形的性质一、选择题1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4cm，则DB等于()A．2cmB．6cmC．4cmD．8cm解析：选D由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(1,2).∴DB＝4×2＝8(cm)．2.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，AE交对角线BD于点G，且△BEG的面积是1cm2，则▱ABCD的面积为()A．8cm2B．10cm2C．12cm2D．14cm2解析：选C因为AD∥BC，所以△BEG∽△DAG，因为BE＝EC，所以eq\f(BE,BC)＝eq\f(BE,DA)＝eq\f(1,2).所以eq\f(S△BEG,S△DAG)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BE,DA)))2＝eq\f(1,4)，即S△DAG＝4S△BEG＝4(cm2)．又因为AD∥BC，所以eq\f(AG,EG)＝eq\f(DA,BE)＝2，所以eq\f(S△BAG,S△BEG)＝eq\f(AG,EG)＝2，所以S△BAG＝2S△BEG＝2(cm2)，所以S△ABD＝S△BAG＋S△DAG＝2＋4＝6(cm2)，所以S▱ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12(cm2)．3．如图所示，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()A．5B．8.2C．6.4D．1.8解析：选D∵△CBF∽△CDE，∴eq\f(BF,DE)＝eq\f(CB,CD).∴BF＝eq\f(DE·CB,CD)＝eq\f(3×6,10)＝1.8.4．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()A．10B．12C．16D．18解析：选C∵AB∥EF∥CD，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(20,80)＝eq\f(1,4).∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(4,5).∴EF＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(4,5)×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F,则eq\f(△CDF的周长,△AEF的周长)＝________.解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是eq\f(△CDF的周长,△AEF的周长)＝eq\f(CD,AE)＝eq\f(AB,AE)＝3.答案：36．如图，在△ABC中有一个矩形EFGH，其顶点E，F分别在AC，AB上，G，H在BC上，若EF＝2FG，BC＝20，△ABC的高AD＝10，则FG＝________.解析：设FG＝x，因为EF＝2FG，所以EF＝2x.因为EF∥BC，所以△AFE∽△ABC，所以eq\f(AM,AD)＝eq\f(EF,BC)，即eq\f(10－x,10)＝eq\f(2x,20)，解得x＝5，即FG＝5.答案：57．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________．解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD，所以△ABE∽△DBA.所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.因为S△ABE∶S△DBA＝1∶5，所以AB∶DB＝1∶eq\r(5).设AB＝kcm，DB＝eq\r(5)kcm，则AD＝2kcm.因为S矩形ABCD＝40cm2，所以k·2k＝40，所以k＝2eq\r(5)(cm)．所以BD＝eq\r(5)k＝10(cm)，AD＝4eq\r(5)(cm)．又因为S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AE＝20，所以eq\f(1,2)·10·AE＝20.所以AE＝4(cm)．答案：4cm三、解答题8．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AB的中点，E是AC上的点，BE，CD交于点M.若AC＝3AE，求∠EMC的度数．解：如图，作EF⊥BC于点F，设AB＝AC＝3，则AD＝eq\f(3,2)，BC＝3eq\r(2)，CE＝2，EF＝FC＝eq\r(2).∴BF＝BC－FC＝2eq\r(2).∴EF∶BF＝e